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1、数学模型思想在初中数学中的应用上海桃李园实验学校 戚元彬建立数学模型，解决实际问题的过程，称之为数学建模.数学建模的思路是,通过对实际问题的分析,抓住其本质特征,联想相应的数学知识,对实际问题进行抽象、简化,建立数学模型,并应用相应的数学基本知识,找到解决实际问题的途径.数学建模思想,是初中数学重要的数学思想,与其有关的中考题型已成为命题热点.一、建立方程（或方程组）模型例1（2006年重庆市）农科所向农民推荐渝江号和号两种新型良种稻谷.在田间管理和土质相同的条件下,号稻谷单位面积的产量比号稻谷低20,但号稻谷的米质好,价格比号高.已知号稻谷国家的收购价是1.6元/千克.(1)当号稻谷的国家收
2、购价是多少时,在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植号、号稻谷的收益相同？(2)去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植号、号稻谷,且进行了相同的田间管理.收获后,小王把稻谷全部卖给国家.卖给国家时,号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克,号稻谷国家的收购价未变,这样小王卖号稻谷比卖号稻谷多收入1040元,那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？解:(1)设号稻谷的产量为千克,同时当号稻谷的国家收购价是元时,在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植号、号稻谷的收益相同.根据题意,得. 解得 .答: 当号稻谷的国家收购价是2元时，在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植号、号稻谷的
3、收益相同.(2)设去年小王卖给国家的号稻谷千克.根据题意,得. 解得 .=11700（千克）.答:小王去年卖给国家的稻谷共有11700千克.二、建立不等式（或不等式组）模型例2（2006年河南省）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购买商品超出300元之后,超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后,超出部分按原价8.5折优惠.设顾客预计累计购物元().(1)请用含的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由.解:(1)在甲超市购物所付的费用是：=元；在乙超市购物所付的
4、费用是： =元.(2)当=时, 解得 .所以,当顾客购物600元时,到两家超市购物所付的费用相同；当时， 解得 .而 , .所以,当顾客购物超过300元且不满600元时,到乙超市购物更优惠； 当时， 解得 .所以,当顾客购物超过600元时,到甲超市购物更优惠.三、建立函数模型例3（2006年武汉市）某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨,用于生产甲、乙两种产品,生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如表.煤的价格为400元/吨,生产1吨甲产品除原料费用外,产品资源 甲乙矿石（t）104煤（t）48还需其他费用400元,甲产品每吨售价4600元；生产1吨 乙产品除原料费用
5、外,还需其他费用500元,乙产品每吨 售价5500元,现将该矿石原料全部用完,设生产甲产品 吨,乙产品吨,公司获得的利润为元. (1)写出与之间的关系式； (2)求与的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (3)若用煤不超过200吨,生产甲产品多少吨时,公司获得的利润最大？最大利润是多少？解:(1)；(2)生产1吨甲产品获利：（元）；生产1吨乙产品获利： ；与的函数表达式为：. 即.(3)， 且, .当生产甲产品25吨时，公司获得的总利润最大.（元）.所以,生产甲产品25吨时,公司获得的利润最大,最大利润是27500元.四、建立平面几何模型例4（2006年上海市）本市新建的滴水湖是圆形人工湖.
6、为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长为240米,A到BC的距离为5米,如例4图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.ABC例4图1解:如例4图2,设圆心为点O,连结OB、OA,OA交线段BC于点D.AB=AC, AB = AC , OABC,且BD=DC=BC=120.ABC例4图2OD由题意,知DA=5.设OB=米.在RtBDO中,.1442.5 .答:滴水湖的半径为1442.5米.五、建立解直角三角形模型P北东A例5图1例5（2006年南京市）如例5图1,小岛A在港口P的南偏西45方向,距离港口81海里处.甲船从A
7、出发,沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口,乙船从港口P出发,沿南偏东60方向,以18海里/时的速度驶离港口.现两船同时出发,(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等?(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果精确到0.1小时）（参考数据：1.41,1.73）解:(1)设出发后小时两船与港口P的距离相等.根据题意,得.解得 .P北东A例5图2DEC答:出发后3小时两船与港口P的距离相等.(2)设出发后小时乙船在甲船的正东方向.此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处,如例5图2.连结CD.过点P作PECD,垂足为E,则点E在点P的正南方向.在RtCEP中,CPE=45,PE=PC.在RtDEP中,EPD=60,PE=PD. PC= PD. 解得 3.7.答: 出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向.说明：本文发表于2007年4月2日的上海中学生报上。
