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1、第十六章 动量守恒定律一、冲量和动量（一）知识要点1.动量：按定义，物体的质量和速度的乘积叫做动量：p=mv动量是描述物体运动状态的一个状态量，它与时刻相对应。动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。2.冲量：按定义，力和力的作用时间的乘积叫做冲量：I=Ft冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。冲量是矢量，它的方向由力的方向决定（不能说和力的方向相同）。如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。高中阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲量。对于变力的冲量，高中阶段只能利用动量定理通过物体的动量变化来求。要注意的是：冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作
2、功，但一定有冲量。（二）例题分析mH例1：质量为m的小球由高为H的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？解：力的作用时间都是，力的大小依次是mg、mgcos和mgsin，所以它们的冲量依次是： 特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。例2：一个质量是0.2kg的钢球，以2m/s的速度水平向右运动，碰到一块竖硬的大理石后被弹回，沿着同一直线以2m/s的速度水平向左运动，碰撞前后钢球的动量有没有变化？变化了多少？解：取水平向右的方向为正方向，碰撞前钢球的速度v=2m/s，碰撞前钢球的动量为P=mv=0.22kgm/s=0.4kgm/s。碰撞后钢球的速度为v=
3、0.2m/s，碰撞后钢球的动量为p=m v=-0.22kgm/s=-0.4kgm/s。p= p-P=-0.4kgm/s-0.4kgm/s=-0.8kgm/s，且动量变化的方向向左。vvvv4545例3：一个质量是0.2kg的钢球，以2m/s的速度斜射到坚硬的大理石板上，入射的角度是45，碰撞后被斜着弹出，弹出的角度也是45，速度大小仍为2m/s，用作图法求出钢球动量变化大小和方向？解：碰撞前后钢球不在同一直线运动，据平行四边形定则，以p和P为邻边做平行四边形，则p就等于对解线的长度，对角线的指向就表示的方向：pp-p4545方向竖直向上。动量是矢量，求其变化量可以用平行四边形定则：在一维情况下
4、可首先规定一个正方向，这时求动量的变化就可以简化为代数运算了。例4（12分）如图所示，在光滑、固定的水平杆上套着一个光滑的滑环 ，滑环下通过一根不可伸长的轻绳悬吊一重物M，轻绳长为L，将滑环固定在水平杆上，给M一个水平冲量作用，使M摆动，且恰好刚碰到水平杆。问（1）M在摆动过程中，滑环对水平杆的压力的最大值是多少？（2）若滑环 不固定，仍给M以同样大小的冲量作用，则M摆起的最大高度为多少？解：（1）机械能守恒 （2分）M通过最低点T最大 （2分） （1分） 再对滑环受力分析 （2分）（2）不固定机械能仍守恒 初速度： （2分）水平动量守恒 （2分） （1分）二、动量定理（一）知识要点1.动量定
5、理：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。既I=p动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量（或者说是物体所受各外力冲量的矢量和）。动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量）间的互求关系。现代物理学把力定义为物体动量的变化率：（牛顿第二定律的动量形式）。动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢量必须以同一个规定的方向为正。2.利用动量定理定性地解释一些现象3.利用动量定理进行定量计算利用动量定理解题，必须按照以下几个步骤进行：明确研究对象和研究过程。研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的质点组。质点组
6、内各物体可以是保持相对静止的，也可以是相对运动的。研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。进行受力分析。只分析研究对象以外的物体施给研究对象的力。所有外力之和为合外力。研究对象内部的相互作用力（内力）会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力。如果在所选定的研究过程中的不同阶段中物体的受力情况不同，就要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和。规定正方向。由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前要先规定一个正方向，和这个方向一致的矢量为正，反之为负。写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量（或各外力在各个阶段的冲量的矢量和）。根据动量定理列式求解
7、。（二）例题分析例1：以初速度v0平抛出一个质量为m的物体，抛出后t秒内物体的动量变化是多少？解：因为合外力就是重力，所以p=Ft=mgt 有了动量定理，不论是求合力的冲量还是求物体动量的变化，都有了两种可供选择的等价的方法。本题用冲量求解，比先求末动量，再求初、末动量的矢量差要方便得多。当合外力为恒力时往往用Ft来求较为简单；当合外力为变力时，在高中阶段只能用p来求。例2：鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二次落在泡沫塑料垫上，没有被打破。这是为什么？解：两次碰地（或碰塑料垫）瞬间鸡蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以两次碰撞过程鸡蛋的动量变化相同。根据Ft=p，
8、第一次与地板作用时的接触时间短，作用力大，所以鸡蛋被打破；第二次与泡沫塑料垫作用的接触时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破。（再说得准确一点应该指出：鸡蛋被打破是因为受到的压强大。鸡蛋和地板相互作用时的接触面积小而作用力大，所以压强大，鸡蛋被打破；鸡蛋和泡沫塑料垫相互作用时的接触面积大而作用力小，所以压强小，鸡蛋未被打破。）F例3：某同学要把压在木块下的纸抽出来。第一次他将纸迅速抽出，木块几乎不动；第二次他将纸较慢地抽出，木块反而被拉动了。这是为什么？解：物体动量的改变不是取决于合力的大小，而是取决于合力冲量的大小。在水平方向上，第一次木块受到的是滑动摩擦力，一般来说大于第二次受到的静摩擦力；
9、但第一次力的作用时间极短，摩擦力的冲量小，因此木块没有明显的动量变化，几乎不动。第二次摩擦力虽然较小，但它的作用时间长，摩擦力的冲量反而大，因此木块会有明显的动量变化。ABC例4：质量为m的小球，从沙坑上方自由下落，经过时间t1到达沙坑表面，又经过时间t2停在沙坑里。求：沙对小球的平均阻力F；小球在沙坑里下落过程所受的总冲量I。解：设刚开始下落的位置为A，刚好接触沙的位置为B，在沙中到达的最低点为C。在下落的全过程对小球用动量定理：重力作用时间为t1+t2，而阻力作用时间仅为t2，以竖直向下为正方向，有： mg(t1+t2)-Ft2=0, 解得： 仍然在下落的全过程对小球用动量定理：在t1时间
10、内只有重力的冲量，在t2时间内只有总冲量（已包括重力冲量在内），以竖直向下为正方向，有： mgt1-I=0,I=mgt1这种题本身并不难，也不复杂，但一定要认真审题。要根据题意所要求的冲量将各个外力灵活组合。若本题目给出小球自由下落的高度，可先把高度转换成时间后再用动量定理。当t1 t2时，Fmg。m Mv0v/例5：质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为v0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？解：以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为，该过程
11、经历时间为v0/g，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得： 这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是。例6：质量为m=1kg的小球由高h1=0.45m处自由下落，落到水平地面后，反跳的最大高度为h2=0.2m，从小球下落到反跳到最高点经历的时间为t=0.6s，取g=10m/s2。求：小球撞击地面过程中，球对地面的平均压力的大小F。解：以小球为研究对象，从开始下落到反跳到最高点的全过程动量变化为零，根据下降、上升高度可知其中下落、上升分别用时t1=0.3s和t2=0.2s，因此与地面作用的时间必为t3=0.1s。由动量定
12、理得：mgt-Ft3=0 ，F=60N例7、如图所示，质量为2kg的小车静止在光滑水平面上，的右端停放有一个质量为0.4kg、带正电荷0.8C的小物体。整个空间存在着垂直于纸面向里、磁感应强度0.5的匀强磁场，现从小车的左端，给小车A一个水平向右的瞬时冲量I=26Ns，使小车获得一个水平向右的初速度，物体与小车之间有摩擦力作用，设小车足够长，求 （1）瞬时冲量使小车获得的动能（2）物体的最大速度?（3）在A与B相互作用过程中系统增加的内能?（10m/s2）解析：（1）瞬时冲量和碰撞是一样的，由于作用时间极短，可以忽略较小的外力的影响，而且认为，冲量结束后物体的速度仍为零冲量是物体动量变化的原因
13、，根据动量定理即可求的小车获得的速度，进而求出小车的动能Mv, v=I/M=13m/s, E=Mv2/2=169J(2)要想得知物体的速度何时最大，就要对瞬时冲量结束后、物体相互作用的过程做一个较具体的分析。小车获得水平向右的初速度后，由于、之间的摩擦，向右减速运动，向左加速运动，同时由于罗伦兹力的影响、之间的摩擦也发生变化，设A、刚分离时速度为vBqvBB 即vB10/ 若A 、能相对静止，设共同速度为，由v0（m）=10.8m/s,因vB说明、在没有达到共同速度前就分离了所以，的最大速度为vB10/这一步的要害就是对两个临界状态进行分析和比较，最后确定的最大速度。假如题中条件20Ns,将得
14、出vB，就说明、在没有分离前就达到了共同速度则共同速度就是的最大速度，因为，、在达到共同速度后速度不再发生变化，也就不会再分离。做过这个题目后，对本题的分析和反思时应该想到这一步。(3) 由于罗伦兹力的影响、B之间的摩擦力逐渐减少，因此无法用fs相对求摩擦产生的热量，只能根据机械能的减少等于内能的增加来求解。由于物体在达到最大速度时，两个物体已经分离，就要根据动量守恒定律求这时的速度，设当物体的速度最大时物体A的速度为vA、系统动量守：vvAvB vA(Mv0mvB)/M=11/ v/2vA/2vB/228J例8、设小车一辆玩具小车的质量为3.0kg，沿光滑的水平面以2.0m/s的速度向正东方向运动，要使小车的运动方向改变，可用速度为2.4m/s的水流由西向东射到小车的竖直挡板CD上，然后流入车中求：要改变小车的运动方向，射到小车里的水的质量至少是多少？解：设射入小车中的水的质量分别为M和 m，对于小车和射入的水组成的系统，水平方向动量守恒，以向东为正方向，有 随着射入小车中水的质量增加，车与车中的水的速度V要减小，直到速度V=0，射入小车的水质量再增加，V0，小车（包括车中的水）的速度方向变为向西。因此对应V=0时的水的质量即为所求。m=2.5kg。三、动量守恒定律（一）知识要点
