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1、嵌套函数零点问题一、基础知识: 1、嵌套函数定义:设),= /), . = g(x),且函数g(M的值域为了)定义域的子集, 那么),通过/的联系而得到自变量X的函数,称),是X的嵌套函数,记为y = /g(x) 2、嵌套函数函数值计算的步骤:求y = g/(x)函数值遵循由内到外”的顺序,一层层 求出函数值。例如:已知/(x) = 2g(x) = Y五,计算g/(2)解:2) = 2? =4 .g/(2) = g(4) = 123、已知函数值求自变量的步骤:若已知函数值求工的解,则遵循“由外到内”的顺序,一 层层拆解直到求出x的值。例如:已知/( = 2,&(戈)=/_2工,若g/(x) =
2、 O, 求x,解:令z = /(x),则8(/) = 0 =/-2/=0解得/ = 01=2当p=0 = /(x) = 0 = 2=0,则xe0;当f = 2 = /(x) = 2 = 2、=2,则x = l; 综上所述:x = 由上例可得,要想求出g/(x) = 0的根,则需要先将/(x)视为整体,先求出/(x) 的值,再求对应x的解,这种思路也用来解决嵌套函数零点问题,先回顾零点的定义:4、函数的零点:设/(x)的定义域为。,若存在玉)eO,使得/(与)=0,则称x = x0为 /(的一个零点5、嵌套函数零点问题的特点:考虑关于x的方程g/(x) = 0根的个数,在解此类问题时, 要分为两
3、层来分析,第一层是解关于/(X)的方程,观察有几个/(X)的值使得等式成立: 第二层是结合着第一层/(x)的值求出每一个/(x)被几个x对应,将x的个数汇总后即为 g/(x) =。的根的个数6、求解嵌套函数y = g/(x)零点问题的技巧:(1)此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题的开始要作出了(x),g(x)的图像(2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于/(x)的方程g/(%) = 0中/(x)解 的个数,再根据个数与/(x)的图像特点,分配每个函数值(x)被几个x所对应,从而确 定工(工)的取值范围,进而决定参数的范围复合函数:二、典型例题1-丰 1例1 :设定义域为R的函数/
4、(%)= |%-1|,若关于x的方程.x = 1f1 (x)+bf (x) + c =。由 3 个不同的解 0工2,*3 则 X: +X; +X; = 思路:先作出了(X)的图像如图:观察可发现对于任意的儿,满足 = /(1)的X的个数 分别为2个(%0,%工1)和3个(% = 1),已知有3个解,从而可得/(x) = l必为 /2(x) + (x) + c = 0的根,而另一根为1或者是负数。所以%)=1,可解得:2=0,占=1,匕=2 ,所以x:+x;+x;=5 答案:5例2:关于X的方程(一小2一卜2 = 0的不相同实根的个数是()A. 3B. 4C. 5D. 8思昭:可将k2一视为一个
5、整体,即(工)=卜2一1卜则方程变为产3, + 2 = 0可解得: f = l或1 = 2,则只需作出,工)=k2-1的图像,然后统计与1=1与,=2的交点总数即可, 共有5个答案:C例 3:已知函数/(x)=lx + L-lx-|,关于 X 的方程/2(x) + d/(x)|+Z? = 0 XX(。力/?)恰有6个不同实数解,则。的取值范围是 思路:所解方程/2(x)+a|/(x)|+z?=o可视为|/(工)+叩3卜/?=0,故考虑作出-,x则|/(x)|的图像X|/(x)的图像:/W=2x,0 x 12x,1 x 0二 x-如图,由图像可知,若有6个不同实数解,则必有X力(x) = 2,0
6、v4(x)v2,所以一。= /(x) +力(x)e(2,4), 解得-4vv2 :答案:-46/ -22|r-,l-l,0x0时,f(x) = 1,则关于x的方,(x 2口 2程6/(x)丁 -x)i=o的实数根个数为()A. 6B. 7C. 8D. 9得/ (1) = /(x) = _,,只需统计思路:已知方程6/(x)2/(x) l = 0可解, 丁 = _!_,),= 一,与y = /(X)的交点个数即可。由奇 函数可先做出x 0的图像,x 2时, /(%) = l/(x-2),则x2,4的图像只需将 不(0,2的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像 完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图
7、像。通 过数形结合可得共有7个交点 答案:B【重要提醒】在作图的过程中,注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5:已知函数4x + 3,若方程/(x)T+(x) + c = O恰有七个不相同的 实根,则实数的取值范围是()A. (2,0)C. (0,1)D. (0,2)第#页共20页思路:考虑通过图像变换作出/(x)的图像(如图),因为/(x)+zy.(x) + c = o最多只 能解出2个/(x),若要出七个根,则/(x) = l/(x)0,l),所以 。/(式)+ &(x)(1,2),解得:e(2,1) , 答案:B例6、已知函数/(%) = 00+1的零点个数判断正确的是()Mj时,
8、有。时,零点 MaB.当00时,有3个零点:当”0时,有2个零点 MHIC.无论。为何值,均有2个零点 D.无论。为何值,均有4个零点思路:所求函数的零点,即方程/(工)=-1的解的个数,先作出/(x)的图像,直线y = ca + l为过定点(0,1)的一条直线,但需要对。的符号进行分类讨论,当。0时,图像 21如图所示,先拆外层可得力(X)=一二 0)已知函数/*) =( ),则实数1k一2是关于x的方程/2(x) + /(x) +,= 0.lg(T)(X 0设定义域为R的函数fM = 一 ,若关于x的方程 + 4x + 4,xo)-x2 -2x (x0)则关于x的函数y = 2/2(x)
9、3/(x) + l的零点的个数为【答案】7已知函数/(%) = x+l,x 0则函数y = /(/。)一1的零点个数为ax+ ,x 0【答案】3则下列关于函数y = /(/Cv)+1的零点个数的判断正确的是()4、当。0时,有4个零点:当avO时,有1个零点B、当0时,有3个零点:当。无论。为何值,均有4个零点 【答案】A已知函数f(x)=0)(2)零点,下列判断不正确的是() A.若,= Lg(x)有一个零点4C.若f = -2,g(x)有三个零点函数g(x) = /2(x)+ /(%) +.关于 g(x)的B .若一2v,vLg(x)有两个零点4D.若fv-2,g(x)有四个零点【答案】D
10、则关于x的方程 f2(x) + bf(x) + c = o有5个不JX+ - (X H 0)已知函数/(x)= X0(x=0)同的实数解的充要条件是()A、一2且c0 B、2且cvOC、bv-2且c = 0D、人之一2且c = 0【答案】C则函数y = /(x)+l的零点个数为(A、2B、3C、4D、5【答案】Cax + ,x02时,关于x的方程/(x) = a的实数解的第#页共20页个数为()A、2B、3C、4D、5【答案】C21+2已知函数/(“=2,则函数物(x) = /x)_2/(x)二的零点个2数为(A、4B、5C、6【答案】AD、7已知函数/(*)=|log5(l-x)| , X1(x 2) +2,xNl1,则方程/ X + -2=。的实根个数不可能()A、8B、7C、6D、5【答案】D已知/)是定义在R上的偶函数,对于任意的XR,都有/(2 + x)+/(x) =。,当xwO,l时,/(x)=-x2 + l ,若d/2-八(x)+3 = 0在区间一1,5上有5个根,则这定义在r上的函数、)=氐不,关于x的函数g(x)=/2(x)+va)+1有5个 2不同的零点X,工2,工3,羽,兑,贝Ijx:+X;+X;+X;+X;=()设函数/(x) = 竺一,若八/卜)=工恒成立,则实数。的值为2x + 3【答案】-3设“X)是定义在(0,+8)上的单调函数,对于任