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1、河北大学现代控制理论答案2011级电气工程及其自动化2班 褚路俭 整理第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令，输出量有电路原理可知： 既得 写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微
2、分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6 （2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7 给定下列状态空间表达式（1） 画出其模拟结构图（2） 求系统的传递函数解：（2）1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）解：A的特征方程 解之得：当时，解得： 令 得 （或令，得）当时， 解得： 令 得 （或令，得）当时，解得： 令 得 1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程 当时，解之得 令 得 当时，解之得 令 得 当时，解之得 令 得 约旦标准型1-10 已知两系统的传
3、递函数分别为W1(s)和W2(s) 试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为（1） 解法1：解法2：求T,使得 得 所以 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数。（2） A=解：第一种方法
4、： 令 则 ，即。求解得到，当时，特征矢量由 ，得即，可令当时，特征矢量由，得即 ，可令则， 第二种方法，即拉氏反变换法： 第三种方法，即凯莱哈密顿定理由第一种方法可知，2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。（3） （4）解：（3）因为 ，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件（4）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2-6 求下列状态空间表达式的解：初始状态，输入时单位阶跃函数。解： 因为 ，2-9 有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而和为分段常数。 图2.2 系统结构图解：将此图化成模拟结构图列出状态方程
5、则离散时间状态空间表达式为由和得： 当T=1时 当T=0.1时 第三章习题3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？（1）系统如图3.16所示：解：由图可得：状态空间表达式为：由于、与无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于只与有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。（3）系统如下式：解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有。要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有。3-2时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性。解：
6、方法一：方法二：将系统化为约旦标准形。，中有全为零的行，系统不可控。中没有全为0的列，系统可观。3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数解：构造能控阵：要使系统完全能控，则，即构造能观阵：要使系统完全能观，则，即3-4设系统的传递函数是（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？（2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。（3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。解：(1) 方法1 ：系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。方法2：系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列
7、。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。（2）当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型（3）根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准II型为3-6已知系统的微分方程为：试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：系统的状态空间表达式为传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为：传递函数为3-9已知系统的传递函数为试求其能控标准型和能观标准型。解：系统的能控标准I型为能观标准II型为3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。解：3-11试将下列系统按能控性进行分解（1）解： rankM=23，系统不是完全能控的。构造奇异变
8、换阵：，其中是任意的，只要满足满秩。即 得 3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解（1） 解： 由已知得则有rank N=23，该系统不能观构造非奇异变换矩阵，有则3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解（1）解：由已知得 rank M=3，则系统能控 rank N=3，则系统能观所以此系统为能控并且能观系统 取，则 则，3-14求下列传递函数阵的最小实现。 （1） 解： ，系统能控不能观取，则所以，所以最小实现为，验证：3-15设和是两个能控且能观的系统（1）试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；（2）试分析由和所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其
9、传递函数。解：（1）和串联当的输出是的输入时，则rank M=23，所以系统不完全能控。当得输出是的输入时，因为 rank M=3 则系统能控 因为 rank N=23 则系统不能观（2）和并联，因为rank M=3，所以系统完全能控 因为rank N=3，所以系统完全能观现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：（1）（2）解：（1）由已知得，因此是负定的（2）由已知得，因此不是正定的4-2已知二阶系统的状态方程：试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。即：有解，且解具有负实部。即：
10、方法（2）：系统的原点平衡状态为大范围渐近稳定，等价于。取，令，则带入，得到若 ，则此方程组有唯一解。即其中要求正定，则要求因此，且4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。（1）（2）解：（1）系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，则是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。（2）系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，则是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-6设非线性系统状态方程为：试确定平衡状态的稳定性。解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：取很明显，的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为，则是负定的。，有
11、。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-9设非线性方程：试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：，有。取则 ，根据希尔维斯特判据，有：，的符号无法判断。（2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为，则是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数解：假设的梯度为：计算的导数为：选择参数，试选，于是得：，显然满足旋度方程，表明上述选择的参数是允许的。则有：如果，则是负定的，因此，是的约束条件。计算得到为：是正定的，因此在范围内，是渐进稳定的。现代控制理论第五章习题答案5-1已知系统状态方程为：试设计一状态反
12、馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。解：依题意有： ，系统能控。系统的特征多项式为：则将系统写成能控标准I型，则有。引入状态反馈后，系统的状态方程为：，其中矩阵，设，则系统的特征多项式为：根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：比较各对应项系数，可解得：则有：。5-3有系统：（1） 画出模拟结构图。（2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？（3） 若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。解（1）系统模拟结构图如下：（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统完全能控。 对于系统有： ，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。 （3）系统的特征多项式为：则将系统写成能控标准I型，则有。引入状态反馈后，系统的状态方程为：，设，则系统的特征多项式为：根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：比较各对应项系数，可解得：。5-4设系统传递函数为试问能
