《高考数学的数列题型精编》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学的数列题型精编（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考数学的数列题型精编题型一 等差、等比数列的基本运算例1 已知等差数列an的前5项和为105，且a10=2a5.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意mN*，将数列an中不大于72m的项的个数记为bm.求数列bm的前m项和Sm.破题切入点 (1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出an.(2)求出bm，再根据其特征选用求和方法.解 (1)设数列an的公差为d，前n项和为Tn，由T5=105，a10=2a5，得5a1+5(5-1)2d=105，a1+9d=2(a1+4d)，解得a1=7，d=7.因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(nN*).(2)对mN*
2、，若an=7n72m，则n72m-1.因此bm=72m-1.所以数列bm是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm=b1(1-qm)1-q=7(1-49m)1-49=7(72m-1)48=72m+1-748.题型二 等差、等比数列的性质及应用例2 (1)已知正数组成的等差数列an，前20项和为100，则a7a14的最大值是()不存在(2)在等差数列an中，a1=-XX，其前n项和为Sn，若S1212-S1010=2，则SXX的值为()A.-XXB.-XXC.-XXD.-XX破题切入点 (1)根据等差数列的性质，a7+a14=a1+a20，S20=20(a1+a20)2可求出a7+a14，然后利用
3、基本不等式.(2)等差数列an中，Sn是其前n项和，则Snn也成等差数列.答案 (1)A (2)D解析 (1)S20=a1+a20220=100，a1+a20=10.a1+a20=a7+a14，a7+a14=10.an0，a7a14a7+a1422=25.当且仅当a7=a14时取等号.故a7a14的最大值为25.(2)根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S11=a1=-XX，公差d=1，故SXXXX=-XX+(XX-1)1=-1，所以SXX=-XX.题型三 等差、等比数列的综合应用例3 已知数列an的前n项和Sn满足条件2Sn=3(an-1)，其中nN*.(
4、1)证明：数列an为等比数列;(2)设数列bn满足bn=log3an，若cn=anbn，求数列cn的前n项和.破题切入点 (1)利用an=Sn-Sn-1求出an与an-1之间的关系，进而用定义证明数列an为等比数列.(2)由(1)的结论得出数列bn的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和.(1)证明 由题意得an=Sn-Sn-1=32(an-an-1)(n2)，an=3an-1，anan-1=3(n2)，又S1=32(a1-1)=a1，解得a1=3，数列an是首项为3,考试技巧，公比为3的等比数列.(2)解 由(1)得an=3n，则bn=log3an=log33n=n，cn=anbn
5、=n3n，设Tn=131+232+333+(n-1)3n-1+n3n，3Tn=132+233+334+(n-1)3n+n3n+1.-2Tn=31+32+33+3n-n3n+1=3(1-3n)1-3-n3n+1，Tn=(2n-1)3n+1+34.总结提高 (1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a1，an，Sn，n，d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解.(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘.(3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a10，利用等比数列求和时注意公比q是否为1.1.已知an为等差数列，
6、其公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A.-110B.-90答案 D解析 a3=a1+2d=a1-4，a7=a1+6d=a1-12，a9=a1+8d=a1-16，又a7是a3与a9的等比中项，(a1-12)2=(a1-4)(a1-16)，解得a1=20.S10=1020+12109(-2)=110.2.(XX课标全国)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn等于()(n+1) (n-1)(n+1)(n-1)2答案 A解析 由a2，a4，a8成等比数列，得a24=a2a8，即(a1+6)2=(a1+2)(a1
7、+14)，a1=2.Sn=2n+n(n-1)22=2n+n2-n=n(n+1).3.等比数列an的前n项和为Sn，若2S4=S5+S6，则数列an的公比q的值为()A.-2或1B.-1或2C.-答案 C解析 方法一 若q=1，则S4=4a1，S5=5a1，S6=6a1，显然不满足2S4=S5+S6，故A、D错.若q=-1，则S4=S6=0，S5=a50，不满足条件，故B错，因此选C.方法二 经检验q=1不适合，则由2S4=S5+S6，得2(1-q4)=1-q5+1-q6，化简得q2+q-2=0，解得q=1(舍去)，q=-2.4.(XX大纲全国)等比数列an中，a4=2，a5=5，则数列lgan
8、的前8项和等于()答案 C解析 数列lgan的前8项和S8=lga1+lga2+lga8=lg(a1a2a8)=lg(a1a8)4=lg(a4a5)4=lg(25)4=4.5.(XX大纲全国)设等比数列an的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6等于()答案 C解析 在等比数列an中，S2、S4-S2、S6-S4也成等比数列，故(S4-S2)2=S2(S6-S4)，则(15-3)2=3(S6-15)，解得S6=63.6.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且AnBn=7n+45n+3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是()答案 D解析 由等差数列的前n项和及等差中
9、项，可得anbn=12(a1+a2n-1)12(b1+b2n-1)=12(2n-1)(a1+a2n-1)12(2n-1)(b1+b2n-1)=A2n-1B2n-1=7(2n-1)+45(2n-1)+3=14n+382n+2=7n+19n+1=7+12n+1 (nN*)，故n=1,2,3,5,11时，anbn为整数.即正整数n的个数是5.7.(XX课标全国)若数列an的前n项和Sn=23an+13，则an的通项公式是an=_.答案 (-2)n-1解析 当n=1时，a1=1;当n2时，an=Sn-Sn-1=23an-23an-1，故anan-1=-2，故an=(-2)n-1.8.(XX江苏)在各项
10、均为正数的等比数列an中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是_.答案 4解析 因为a8=a2q6，a6=a2q4，a4=a2q2，所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0，解得q2=2，a6=a2q4=122=4.9.(XX安徽)数列an是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=_.答案 1解析 设等差数列的公差为d，则a3=a1+2d，a5=a1+4d，(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5)，解得d=-1，q=a3+3a1+1=a1-2+3a1+1=1.10
11、.在数列an中，如果对任意nN*都有an+2-an+1an+1-an=k(k为常数)，则称数列an为等差比数列，k称为公差比.现给出下列问题：等差比数列的公差比一定不为零;等差数列一定是等差比数列;若an=-3n+2，则数列an是等差比数列;若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.其中正确命题的序号为_.答案 解析 若k=0，an为常数列，分母无意义，正确;公差为零的等差数列不是等差比数列，错误;an+2-an+1an+1-an=3，满足定义，正确;设an=a1qn-1(q0)，则an+2-an+1an+1-an=a1qn+1-a1qna1qn-a1qn-1=q，正确.11.(XX课标全国
12、)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求an的通项公式;(2)求数列an2n的前n项和.解 (1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3，由题意得a2=2，a4=3.设数列an的公差为d，则a4-a2=2d，故d=12，从而a1=32.所以an的通项公式为an=12n+1.(2)设an2n的前n项和为Sn.由(1)知an2n=n+22n+1，则Sn=322+423+n+12n+n+22n+1，12Sn=323+424+n+12n+1+n+22n+2.两式相减得12Sn=34+(123+12n+1)-n+22n+2=34+14(1-12n-1)-n+22n+2.
13、所以Sn=2-n+42n+1.12.(XX北京)已知an是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列bn满足b1=4，b4=20，且bn-an为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和.解 (1)设等差数列an的公差为d，由题意得d=a4-a13=12-33=3，所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2，).设等比数列bn-an的公比为q，由题意得q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8，解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1(n=1,2，).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2，).数列3n的前n项和为32n(n+1)，数列2n-1的前n项和为1-2n1-2=2n-1.所以，数列bn的前n项和为32n(n+1)+2n-1.
