《高中数学竞赛试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛试题（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 设 f x4x，求和 f1f2f20064x22007200720072在一个有限的实数列中，任意7 个连续项之和都是负数，而任意连续 11 项之和都是正数，试问这样的数列最多有多少项？证明你的结论3已知 f ( x)x2pxq ，求证f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 124已知ab0 ，解函数方程 af ( x)bf ( x)c(1 x) 5设 fxax2bxc ，a, b, c 为实数，如果对于所有适合1x 1的 x 值，都有 1fx1成立，则对这些 x 的值有 4 2ax b46证明n3321对任何正整数 n 都是整数，并且用3除时n2n 12余 27已
2、知 a, b 为非零的不共线向量，设条件M：b ab ；条件 ：N对一切 x R不等式 axb ab 恒成立则 M成立是 N成立的什么条件？证明你的结论8设多项式 fxa0 x na1 x n 1an 1 xan 的系数都是整数，并且有一个奇数及一个偶数使得 f及 f都是奇数，求证方程f x 0 没有整数根9设 P( x)ak xkak1xk 1a1 x a0，式中各系数 a j ( j0,1,k ) 都是整数今设有 4 个不同的整数 x1, x2 , x3 , x4 使 p( xi )(i 1,2,3, 4)都等于 试2证明对于任何整数 x, p(x) 必不等于 1，3，5，7，9 中的任何
3、一个10已知数列 an满足 a1a2 1,an 2 an 1an ，求数列的通项11用任意的方式， 给平面上的每一个点染上黑色或白色求证：一定存在一个边长为 1 或 3 的正三角形，它的三个顶点是同色的12已知凸四边形 ABCD，求证这个凸四边形一定可以被AB, BC, CD , DA 为直径的半圆共同覆盖13在 ABC 中，设 AB AC ，过 A 作 ABC 的外接圆的切线 l ，又以 A 为圆心， AC 为半径作圆分别交线段 AB 于 D ，交直线 l 于 E 、F 证明： DE、DF通过ABC 内心和一个旁心14设 H 是锐角 ABC 的垂心 , 由 A 向以 BC 为直径的圆作切线A
4、P, AQ , 切点分别为 P, Q . 求证: P, H ,Q 三点共线 .15在等边ABC所在的平面上找这样的一点P，使PAB , PBC , PAC 都是等腰三角形，那么具有这样性质的点有几个16过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线，切点为 A 、B 所作割线交圆于 C 、 D 两点， C 在 P 、 D 之间在弦 CD 上取一点 Q ，使DAQPBC 求证：DBQPAC 17将平面上每一个点都以红、蓝两色之一着色，证明，存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为2007，并且每一个三角形的三个顶点同色18在坐标平面上顶点坐标均为整数的点叫做整点多边形，求证，整点凸五边形内必有整点19
5、如图 , 菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别切于 E,F ,G, H , 在弧 EF 与弧 GH 上分别作O的切线交 AB于M,交BC于N ,交CD于P,交 DA于Q. 求证 MQ /NP.20平面上有 6 个点，任何 3 点都是一个不等边三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边21在正方体的 8 个顶点处分别放上 8 个不同的正整数， 如果他们的和等于 55，那么必定能找到一个侧面正方形，其相对顶点所放的数都是奇数22设 d 是异于 2，5，13 的任一整数求证在集合2,5,13,d 中可以找到两个不同元素a,b ，使得 ab1不是完全平方数23设有 2n 1
6、 n1 个茶杯，开始时，杯口都朝上，现把茶杯随意翻转，规定每次翻转偶数只（翻动过的还可以再翻动），证明，无论翻动多少次，都不可能使杯口都朝下24有 100 盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码 1，2， ， 99，100每盏灯由一个拉线开关控制着最初，电灯全是关着的 另外有 100 个学生，第一个学生走过来， 把凡是号码为1 的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第 2 个学生走过来，把凡是号码为 2 的倍数的电灯的开关拉了一下； 第 3 个学生走过来， 把凡是号码为 3 的倍数的电灯的开关拉了一下， 如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被 100 整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之
7、后， 问哪些灯是亮的？25证明对任意正整数 n ，分数 21n4 不可约14n326 的前 24 位数字为3.14159265358979323846264，记 a1, a2 , , a24为该 24 个数字的任一排列，求证 a1 a2a3 a4a23a24 必为偶数27用 n 表示 n 的约数个数，请对122007 的奇偶性作出证明28 设 p 与 q 为正整数，满足 p11111求证 p 可q2313181319被 1979 整除29用两种颜色给数轴染色，每一个点上只染一种颜色求证，存在同色两点，它们的距离为1或为 230有 n 个同学围坐在圆周上n4 ，若每个学生的两旁都是一男一女，求证
8、n 是 4 的倍数31如果从数 1，2， , 14 中按由小到大的顺序取出 a1 ，a2 ，a3 ，使同时满足 a2 a1 3, a3 a2 3, 那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？32证明：在任意 6 个人中，总可以找到3 个人互相认识，或互相不认识，并且这种情况至少出现两个33在一次乒乓球循环赛中，n 名选手中没有全胜的，证明，一定可以从中找到3 名选手 A,B,C ，使得 A胜 B， B胜 C，C胜 A34甲乙两队各出 7 名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 1 号队员比赛， 负者被淘汰， 胜者再与负方2 号队员比赛，依次类推，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方
9、获胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少？35设有 2n2n 的正方形方格棋盘， 在其中任意的 3n 个方格中放一枚棋子，求证，可以选出 n 行 n 列，使得 3n 枚棋子都在这 n 行和 n 列中36凸 n 边形（ n4 ）玫瑰园的 n 个顶点各栽有1 棵红玫瑰，每两棵红玫瑰之间都有一条直小路相通， 这些直小路没有出现 “三线共点”的情况它们把花园分割成许多不重叠的区域 （三角形、四边形， ），每块区域都栽有一棵白玫瑰或黑玫瑰求出玫瑰园里玫瑰总棵数f (n) 的表达式 花园里能否恰有99 棵玫瑰？说明理由37李明夫妇最近参加了一次集会， 同时出席的还有三对夫妻 一见面
10、，大家互相握手， 当然夫妻之间不握手， 也没有人与同一个人握两次手握手完毕后，李明统计了包括妻子在内的 7 个人握手的次数，发现恰好数字互不相同请问，李明的妻子握了几次手 ?38设 n 是正整数，我们说集合1,2,2n 的一个排列x1, x2 , x2n具有性质 p ，是指在 1,2, ,2n 1 当中至少有一个 i ，使得 | xi xi 1 | n ，求证对于任何 n ，具有性质 p 的排列比不具有性质 p 的排列的个数多39运动会连续开了 n 天（ n1 ），一共发了 m 枚奖章第一天发1 枚以及剩下 m 1 枚的 1，第二天发 2 枚以及发后剩下的1，以后每77天均按此规律发奖章在最后一天即第n 天发了剩下的 n 枚奖章，问运动会开了多少天，一共发了多少枚奖章？40有 17 位科学家，每一个和其他人都通信，在他们的书信中一共讨论 3 个题目，而每两个科学家仅仅讨论一个题目，证明，至少有 3 个科学家，他们互相讨论同一题目
