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1、2012年高中数学竞赛平面几何攻略2012年高中数学竞赛平面几何攻略江苏省扬州中学 唐一良第一部分【几个著名定理】例1以ABC的底边BC为直径作半圆，分别与AB、AC交于点D和E，分别过D、E作BC的垂线，垂足依次为F、G，线段DG和EF交于点M，求证：AMBC（IMO-37国家队选拔题）ABCDEFMN例2. 如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足BAE=CAF，作FMAB，FNAC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等例4若两个三角形的对应顶点的连线交于一点，则对应边所在的直线交点必共线。（笛沙格定理）第二部分【三角形
2、五心研究】例1过等腰ABC底边BC上一点P引PMCA交AB于M；引PNBA交AC于N.作点P关于MN的对称点P.试证：P点在ABC外接圆上.例2设圆O是ABC的内切圆，BC，CA，AB上的切点各是D，E，F，射线DO交EF于A，同样可得B，C，试证：直线AA，BB，CC共点。例3设ABC的三条高线为AD，BE，CF，自A，B，C分别作AKEF于K，BLDF于L，CNED于N，证明：直线AK，BL，CN相交于一点。例4在ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，A的平分线AD交ABC的外接圆于K，ABC的外心，内心分别是O，I，求证：OIAK。例5设点M是ABC的边BC的中点，I是其内心，AH是B
3、C边上的高，E为直线IM与AH的交点，求证：AE等于内切圆半径r。例6设圆O是ABC的BC边外侧的旁切圆，D，E，F分别是圆O与BC，CA，AB所在直线的切点，若OD与EF相交于K，求证：AK平分BC。例7在中，ABAC，点O是外心，两条高BE，CF交于H点，点M，N分别在线段BH，HF上，且满足BM=CN，求的值。第三部分【圆的研究】例1(Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr(1992年江苏省数学竞赛)例2. 设点P是O外一点，PAB，PCD是两条割线，AD，BC交于点Q，延长BD，AC交于点R，求证：=P的幂+Q的幂；=P的幂
4、+R的幂.【两个典型模型】：O的内接四边形ABCD中，AB，DC延长后交于点E，AD，BC延长后交于点F，AC，BD交于点P（不与O重合），证明：OPEF，并讨论四边形ABCD是圆外切四边形的情形。例3.设D，E是DABC中AB，AC上的点，求证：以BE和CD为直径的两圆的根轴必通过DABC的垂心。例4.如图，已知两个半径不相等的O1与O2相交于M、N两点，且O1、O2分别与O内切于S、T两点。求证：OMMN的充分必要条件是S、N、T三点共线。（97年高中数学联赛试题）例5四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC延长交于点P，AD、BC延长交于点Q，由Q作该圆的两条切线QE、QF，切点分别为E、
5、F，求证：P、E、F三点共线(1997年中国数学奥林匹克）第四部分【从调和点列到完全四边形到Apollonius圆到极线极点】例1如图，过圆O外一点P作其切线PA、PB，OP与圆和AB分别交于I、M，DE为过M的任意弦。求证：I为PDE内心。（2001年中国西部数学奥林匹克）例2如图，ABC中，ADBC，H为AD上任一点，则ADF=ADE（1994年加拿大数学奥林匹克试题）例3如图，完全四边形ABCDEF中，GJEF与J，则BJA=DJC（2002年中国国家集训队选拔考试题）例4.已知：ABC内角平分线BE、CF交于I，过I做IQEF交BC于P，且IP=2IQ。求证：BAC=60例5. P为圆
6、O外一点，PA、PB为圆O的两条切线。PCD为任意一条割线，CF平行PA且交AB于E。求证：CE=EF（2006国家集训队培训题）例6.过锐角的顶点A，B，C的三条高分别交对边于点D，E，F，过点D平行于EF的直线分别交AC，AB于点Q，R，直线EF交BC于点P，求证：PQR的外接圆过BC的中点。例7.在ABC中，经过点B，C的圆与边AC，AB的另一个交点分别为E，F，BE与CF交于点P，AP与BC交于点D，M是边BC的中点，D，M不重合，求证：D，M，E，F四点共圆。例8.凸四边形ABCD内接于O，延长AB，DC交于点E，延长BC，AD交于点F，AC，BD交于点P，直线OP交EF于点G，求证
7、：例9.以锐角PAB的边AB为直径作半圆交PA于点E，交PB于点D，直线AB与ED交于点Q，AD与BE交于点C，直线PC交AB于H，连OE，OD，HE，HD，求证：例10.如图，O、I分别为ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上。求证：ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。(98年全国高中联赛试题)第五部分【完全四边形】例1. 在四边形ABCD中两条对角线交于点O，两组对边的延长线分别交于点E，F，过O作EF的平行线交BC，AD于I，J，求证：OI=OJ例2.在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GAC=
8、EAC. (99年全国高中联赛试题)例3设凸四边形的两组对边所在直线分别交于E，F两点，两对角线的交点为P，过点P作于O，求证：(2002年国家队选拔赛题)例4.如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M求证：若OKMN，则A，B，D，C四点共圆（2010年全国高中数学联赛）例5.如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点若，证明：（2011年全国高中数学联赛）第六部分【几个典型的问题】一、证明四点共圆的基本方法：(1)利用圆的定义到同一个定点的距离相等；(2)利用圆内接四边形性质定理的逆定理对角
9、互补或外角等于它的内对角；(3)利用圆周角定理的逆定理线段的同侧张角相等；(4)利用圆幂定理的逆定理相交弦、切割线；(5)利用托勒米定理的逆定理或西姆松定理的逆定理.例1.在锐角三角形ABC中，以BC为直径作圆与BC边上的高AD及其延长线交于M、N，以AB为直径作圆与AB边上的高CE及其延长线交于P、Q，求证：M、N、P、Q四点共圆.（美国1990）二、证明三点共线的基本方法： (1)利用“邻角互补”或对顶角定理的逆定理；(2)利用同一法；(3)利用特殊点、线的性质如西姆松线；(4)利用梅内劳斯定理的逆定理.；(5)利用张角关系定理由P点出发的三条射线PA、PB、PC,APB=,BPC=,APC=+AC，M是边BC的中点，P是内一点，使得=，设，的外心分别为O，O1，O2，证明：直线AO平分线段O1O2（2010年国家集训队选拔考试题）例3.设O1与O2相交，P是其中一个交点，它们的一条外公切线切O1与O2于A，B，过A垂直于BP的直线交O1O2于C，求证：APPC（2011年国家集训队选拔考试题）例4.如图,锐角中,为的垂心,点、分别在边、上，,为的外心.点与在直线的同侧，使得为正三角形.证明：、三点共线. （2012年国家集训队选拔考试题）- 1 -
