习题参考解答

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1、数学建模习题解答第一章 部分习题3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中,将四角的连线呈正方形改为长方形,其余不变,试构造模型并求解.5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型,作下面这个众所周知的智力游戏:人带着猫、鸡、米过河,船除希望要人计划之外,至多能载猫、鸡、米三者之一,而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米,设计一个安全过河方案,并使渡河次数尽量地少.6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型:(1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段,分别确定增长率r.(2) 阻滞增长模型. 换

2、一种方法确定固有增长率r和最大容量xm .7. 说明1.5节中Logistic模型(9)可以表示为,其中t0是人口增长出现拐点的时刻,并说明t0与r,xm的关系.8. 假定人口的增长服从这样的规律:时刻t的人口为x(t),t到t+t时间内人口的增量与xm-x(t)成正比(其中为xm最大容量). 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.9(3). 甲乙两站之间有电车相通,每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车,但发车时刻不一定相同。甲乙之间一中间站丙,某人每天在随机的时刻到达丙站,并搭乘最先经过丙站的那趟车,结果发现100天中约有90天到达甲站,约有10天到达乙站

3、。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。参考答案3(5). 司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离,设通过十字路口的距离为,汽车行驶速度为,则黄灯的时间长度应使距停车线之内的汽车能通过路口,即其中s1可由试验得到,或按照牛顿第二定律解运动方程,进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.4. 相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为,将椅子旋转,其余作法与1.3节相同.5. 人、猫、鸡、米分别记为,当在此岸时记,否则记,则此岸的状态可用表示。记的反状态为,允许状态集合为及他们的5个反状态决策为乘船方案,记作,当在船上时记,否则记,允许决策集合为记第次渡河前此岸的状态为,第

4、次渡河的决策为,则状态转移律为,设计安全过河方案归结为求决策序列,使状态按状态转移律由初始状态经步达到。一个可行的方案如下:123456786(1). 分段的指数增长模型 根据1.5节表3中的增长率将时间分为三段:1790年至1880年平均年增长率2.83%; 1890年至1960年平均年增长率1.53%; 1970年至2000年平均年增长率1.12% . 三段模型为(1790年为t=0,1880年为t=1, )x1(t)=3.9e0.283t ,t=0,1, ,10 x2(t)=x1(10) e0.153(t-10) ,t=11,12, ,18 x3(t)= x2(18) e0112(t-1

5、8) ,t=19,20, ,22 6(2). 阻滞增长模型 可以用实际增长率数据中前5个的平均值作为固有增长率r,取某些专家的估计400百万为最大容量xm,以1790年的实际人口为x0,模型为1.5节的(9)式。以上两个模型的计算结果见下表:年17901800181018201830184018501860实际人口3.95.37.29.612.917.123.231.4模型(1)3.95.26.99.112.116.121.328.3模型(2)3.95.27.09.412.616.722.229.3(续表)年18701880189019001910192019301940实际人口38.650.

6、262.976.092.0106.5123.2131.7模型(1)37.549.866.177.089.7104.6121.9142.0模型(2)38.449.964.181.2101.3124.1149.0174.9(续表)年195019601970198019902000实际人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4模型(1)165.5192.9224.7251.4281.2314.5模型(2)200.9225.8248.6268.7285.9300.17.注意到t=t0时, 立即可得,且, .8.其中r为比例系数。解上述初值问题得: ,如下图中实线所示:xmtx0x

7、0xm/2当t充分大时,它与Logistic模型相近。9(3). 不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是:8:00, 8:10, 8:20, , 那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是:8:09, 8:19, 8:29, . 第二章部分习题3. 在2.5节中考虑8人艇分重量级组(桨手体重不超过86kg)和轻量级组(桨手体重不超过73kg)建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%9. 用宽布条缠绕直径的圆形管道,要求布条不重叠,问布条与管道轴线的夹角应多大(如图)。若知道长度,需用多长的布条(可考虑两端的影响)。如果管道是其它形状呢16. 雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关,其中粘滞系数

8、的定义是:运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数为粘滞系数,用量纲分析方法给出速度的表达式17. 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播,据分析在时刻冲击波达到的半径与释放的能量,大气密度,大气压强有关(设时)用量纲分析方法证明,是未定函数参考答案3. 由模型假设3,划桨功率与体重成正比,而桨手数不变,所以2.5节(2)式改为。记重量级组和轻量级组的体重、艇速、比赛成绩和艇的浸没面积分别为,则。估计的大小:重量级组体重大,会使浸没面积增加,单艇身略大,又会使浸没面积减少,因而不会超过1.05。代入,可得.9. 将管道展开如图,可得,若一定,若管道长度

9、为,不考虑两端的影响时布条长度显然为,若考虑两端的影响,则应加上,对于其他形状管道,只需将改为相应的周长即可 16. 设 解得于是,是未定函数.17. 设 解得 于是 .第三章部分习题1. 在3.1节存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优定货周期和定货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样,而在允许缺货模型中最优定货周期和定货批量都比原来结果减小3. 在3.3节森林救火模型中,如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关,试假设一个合理的函数关系,重新求解模型。4. 在3.4节最优价格模型中,如果考虑到成本随着产量的增加而降低,试做出合理的假设,重新求解模型。7. 要

10、在雨中从一处沿直线跑到另一处,若雨速为常数且方向不变,试建立数学,模型讨论是否跑都越快,淋雨量越少。将人体简化成一个长方体,高(颈部以下),宽厚,设跑步距离跑步最大速度,雨速 ,降雨量,记跑步速度为,按以下步骤进行讨论; (1)不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量 (2)雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为,如图1建立总淋雨量与速度及参数之间的关系,问速度多大,总淋雨量最少,计算时的总淋雨量。 (3)雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为,如图2建立总淋雨量与速度及参数之间的关系,问速度多大,总淋雨量最少,

11、计算时的总淋雨量。 (4)以总淋雨量为纵轴,速度为横轴,对(3)作图(考虑的影响),并解释结果的实际意义。 (5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内,模型会有什么变化。参考答案1. 设购买单位重量货物的费用为,对于不允许缺货模型,每天平均费用为,的最优结果不变,对于允许缺货模型,每天平均费用为,利用,可求出的最优结果为 ,均不考虑费用时的结果减小.3. 不妨设,表示火势越大,灭火速度越小,分母中的1是防止时而加的,最优解为 .4. 不妨设,是产量增加一个单位时成本的降低,最优价格为.7. 1) 全身面积,淋雨时间,降雨量,所以总淋雨量升2) 顶部淋雨量;雨速水平分量,方向与相反,合速度,迎面单

12、位时间、单位面积的淋雨量,迎面淋雨量,所以总淋雨量。时最小,升。升。3) 与2)不同的是,合速度为,于是总淋雨量,若即,则时最小。否则时最小(见下图)当升最小,可与升相比.4) 雨从背面吹来,只要不太大,满足(即可),最小,此时人体背面不淋雨,只有顶部淋雨.5) 再用一个角度表示雨的方向,应计算侧面的淋雨量,问题本质上没有变化.第四章部分习题2. 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点,向7个区的大学生售书,每个区的大学生数量(单位:千人)已经表示在图上,每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书,这两个销售代理点应该建在何处,才能使所供应的大学生的数量最大?建立该问题的整数线性规划模型

13、并求解3. 某储蓄所每天的营业时间是上午9:00到下午5:00,根据经验,每天不同时间段所需要的服务员数量如下:时间段(时)9101011111212112233445服务员数量43465688储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员,全时服务员每天报酬100元,从上午9:00到下午5:00工作,但中午12:00到下午2:00之间必须安排1小时的午餐时间,储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员,每个半时服务员必须连续工作4小时,报酬40元,问该储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员?如果不能雇佣半时服务员,每天至少增加多少费用?如果雇佣半时服务员的数量没有限制,每天可以减少多少费用?6. 某公司将

14、4种不同含硫量的液体原料(分别记为甲、乙、丙、丁)混合生产两种产品(分别记为A,B),按照生产工艺要求,原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合,混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、B。已知,原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3,1,2,1(%),进货价格分别为6,16,10,15(千元/吨);产品A、B的含硫量分别不能超过2.5,1.5(%),售价分别为9,15(千元/吨),根据市场信息,原料甲、乙、丙的供应量有限制,原料丁的供应量最多为50吨;产品A、B的市场需求分别为100,200吨,问应如何安排生产?参考答案2. 将大学生数量为34,29,42,21,56,18,71的区分别标号为1,2,3,4,5,6,7区,划出区与区之间的如下相邻关系图: 记为第区的大学生人数,用0-1变量表示区的大学生由一个销售代理点供应图书,否则,建该问题的整数线性规划模型 即 用LINDO求解得到:最优解为(其他为0)最优值为177千人.3. 设储蓄所每天雇佣的全时服务员中以12:00为午餐时间

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