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1、一九七九年（理科）一（本题满分6分）若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x,y,z成等差数列。证：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=（x+z)2-22y(z+x)+4y2=(z+x-2y)2=02y=x+z,所以，x,y,z成等差数列。二（本题满分6分）三（本题满分6分）甲，乙二容器内都盛有酒精。甲有V1公斤，乙有V2公斤。甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1 ,乙中纯酒精与水之比为m2:n2。问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四（本题满6分）叙述并证明勾股定理。证：略。五（本题满10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域。设A及B是我们的观测
2、站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得BAP=同时在B站测得BAP=。问及满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ P A B C 解：作PCAB于C，设PC=d，在直角三角形PAC中，AC=dctg在直角三角形PC中，BC=dctgS=AC+BC=d（ctg+ctg）。当dD，即ctg+ctg时，应向外国船发出警告。六（本题满分10分）设三棱锥V-ABC中，AVB=BVC=CVA=直角。 C V D A B 求证：ABC是锐角三角形。证一：设VA=，VB=b，VC=c，AB=p，BC=q，CA=r。于是p2=2
3、+b2, q2=b2+c2, r2=c2+2。由余弦定理：同理，ABC，BCA也是锐角。证二：作VDBC，D为垂足。因VA垂直于平面VAC，所以VABC又BCVD，所以BC垂直于平面VAD，从而BCAD及在ABC中，A在BC边上的垂足D介于B和C之间。因此，B和C都是锐角，同理可证A也是锐角。七（本题满分12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x0.1,可用：ln(1+x)x，取lg2=0.3,ln10=2.3)解：年增长率x应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.取自然对数有 40ln(1+
4、x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.30.7=1.61利用ln(1+x)x,则有xln5/40=1.61/40=0.040254%答：每年约增长百分之四。 C E F A B D 八（本题满分12分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B。求证：证：连接CD。因CFD=900，所以CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，CDAB。又在直角三角形ABC中，ACB=900，AC2=ADAB，BC2=BDBA。又因 BD2=BCBF，AD2=ACAE。由（1）与（2）得九（本题满分14分）试问数列前多少项的
5、和的值最大？并求这最大值。（lg2=0.301)解：该数列的第k项为：所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2。要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数。因此，k应适合下列条件：十（本题满分18分）设等腰OAB的顶点为2，高为h。1在OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|PF|=|PE|2。求P点的轨迹。2在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|。 Y A D P E O h X F B 解：设OP与正X轴的夹角为，则一九七九年（文科）一（本题满分9分）求函数y=2x2-2x+
6、1的极小值。解略：x=时，y取最小值.二（本题满分9分）化简（1+sin2)2-cos4(1+cos2)2-sin4。解：原式=(1+sin2+cos2)(1+sin2-cos2)(1+cos2+sin2)(1+cos2-sin2)=4(1-cos2)(1+cos2)=4sin2 2三（本题满9分）甲，乙二容器内都盛有酒精。甲有V1公斤，乙有V2公斤。甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1 ,乙中纯酒精与水之比为m2:n2。问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四（本题满分9分）叙述并且证明勾股定理。解：略。五（本题满分14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域。设A
7、及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得BAP=同时在B站测得BAP=。问及满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ P A B C 解：作PCAB于C，设PC=d，在直角三角形PAC中，AC=dctg在直角三角形PC中，BC=dctgS=AC+BC=d（ctg+ctg）。当dD，即ctg+ctg时，应向外国船发出警告。六（本题满分14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x0.1,可用：ln(1+x)x，取lg2=0
8、.3,ln10=2.3) 解：年增长率x应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.30.7=1.61利用ln(1+x)x,则有xln5/40=1.61/40=0.040254%答：每年约增长百分之四。 C E F A B D 七（本题满分18分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B。求证：证：连接CD。因CFD=900，所以CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，CDAB。又在直角三角形ABC中，ACB=900，AC2=ADAB，BC2=BDBA。又因 BD2=BCBF，AD2=ACAE。由（1）与（2）得八（本题满分14分）过原点O作圆x2+y2-2x-4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点。求P1P2的中点P的轨迹。 Y P2 P P1 O X 解：设割线OP1P2的直线方程为 y=kx代入圆的方程，得：x2+k2x2-2x-4kx+4=0即(1+k2)x2-2(1+2k)x+4=0设两根为x1，x2即直线与圆的两交点的横坐标;由韦达定理得：又设P点的坐标是（x,y)。P是P1P2的中点，所以又P点在直线y=kx上，
