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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题1-5+解析5-28页参考公式：若事件互斥，则 若事件相互独立，则 若事件在一次试验中发生的概率是,则次独立重复试验中事件恰好发生次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 2.渐近线方程为的双曲线的离心率
2、是（ ）A. B. 1C. D. 23.若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A. B. 1C 10D. 124.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 325.若，则“”是 “”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在同一直角坐标系中，函数且图象可能是（ ）A. B. C. D. 7.设，则随机变量的分布列是：则当在内增大时（ ）A. 增大B.
3、 减小C. 先增大后减小D. 先减小后增大8.设三棱锥底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）A. B. C. D. 9.已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）A. B. C. D. 10.设，数列中， 则（ ）A. 当B. 当C. 当D. 当非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数（为虚数单位），则_.12.已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_，_.13.在二项式的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_.14.在中，点
4、在线段上，若，则_；_.15.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_.16.已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是_.17.已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是_；最大值是_.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数 的值域.19.如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.20.设等差数列前项和为，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记 证明：21.如图
5、，已知点为抛物线，点为焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.（1）求的值及抛物线的标准方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.22.已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有 求的取值范围.注：为自然对数的底数.2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：若事件互斥，则 若事件相互独立，则 若事件在一次试验中发生的概率是,则次独立重复试验中事件恰好发生次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底
6、面积，表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】，则【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】C【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】
7、因为双曲线的渐近线为，所以，则，双曲线的离心率.【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A. B. 1C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的
8、过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B【解析】【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.【点睛】
9、易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5.若，则“”是 “”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法
10、”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不
11、同取值范围，认识函数的单调性.7.设，则随机变量的分布列是：则当在内增大时（ ）A. 增大B. 减小C. 先增大后减小D. 先减小后增大【答案】D【解析】【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.【详解】方法1：由分布列得，则，则当在内增大时，先减小后增大.方法2：则故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥的底
12、面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，即，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）由最大角定理，故选B.法2：（特殊位置）取为正四
13、面体，为中点，易得，故选B.【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.【详解】原题可转化为与，有三个交点.当时，且，则（1）当时，如图与不可能有三个交点（实际上有一个），排除A，B（2）当时，分三种情况，如图与若有三个交点，则，答案选D下面证明：时，时，则，才能保证至少有两个零点，即，若另一零点在【
14、点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.10.设，数列中， ,则（ ）A. 当B. 当C. 当D. 当【答案】A【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B：不动点满足时，如图，若，排除如图，若为不动点则选项C：不动点满足，不动点为，令，则，排除选项D：不动点满足，不动点为，令，则，排除.选项A：证明：当时，处理一：可依次迭代到；处理二：当时，则则，则.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数（为虚数单位），则_.【答案】【解析】【分析】本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】.【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题
