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1、2020考研数学二真题及答案一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 当 x 0+ 时，下列无穷小量中最高阶是（）00（A） x (et2 -1)dt（B） x ln (1+ t2 )dt（C） sin x sin t 2dt0【答案】（D）1-cos x（D） 0sin t 2 dt【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。（A） (x (et 2-1)dt )2= ex-1 x200（B） ( x ln (1+t 2 )dt ) = ln (
2、1+x2 ) : x（C） （C）(sin xsin t 2 dt )= sin (sin2 x) : x2（D） (0sin t 21-cos x0dt ) =sin(1- cos x)2sin x : 1 x32经比较，选（D）（2） 函数 f (x) =1ex-1 ln 1+ x(ex -1)(x - 2)的第二类间断点的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】（C）【解析】由题设，函数的可能间断点有 x = -1, 0,1, 2 ，由此ex-1 ln 1+ x1ex-1 ln 1+ xlim f (x) = lim- 1= -e 2lim ln 1+ x = - ；x-1x-
3、1 (ex -1)(x - 2)3(e-1 -1) x-1 1lim f (x) = lim= - e-1limln(1+ x) = - 1 ；x0x0 (ex -1)(x - 2)2x0x2eex-1 ln 1+ x1lim f (x) = lim= ln 2 1 lim ex-1 = 0;x1-ex-1 ln 1+ x1x1- (ex -1)(x - 2)1- e x1-；lim= ln 2 1 lim ex-1 = -;x1+ (ex -1)(x - 2)1- e x1+12x2ex-1 ln 1+ xe ln 31x2x2 (exlim f (x) = lim-1)(x - 2) =
4、(e -1) lim x - 2 = 故函数的第二类间断点（无穷间断点）有 3 个，故选项（C）正确。1 arcsin（3） （3）x dx = （）0p 2（A）4x (1- x)p 2（B）8p（C）4p（D）8【答案】（A）x【解析】令= sin t ，则 x = sin2 t ， dx = 2 sin t cos tdtppp21 arcsinx dx = 2 t2 sin t cos tdt = 2 2tdt = t22 = p0x (1- x)0 sin t cos t004（4） f ( x) = x2 ln (1 - x), n 3 时， f (n) (0) =（A） -n!
5、n - 2（B）n! n - 2(n - 2)!-（C）（D）n(n - 2)!n【答案】(A) xn2 xn+2xnn【解析】由泰勒展开式， ln(1- x) = -n=1，则 xln(1- x) = -nn=1= -，n - 2n=3故 f (n) (0) =n! .n - 2 xy, xy 0（5）关于函数 f ( x, y ) = x, y,y = 0x = 0给出以下结论fxfxy(0,0) = 1 (0,0)= 1 lim( x, y )(0,0)f ( x, y) = 0 lim lim f ( x, y) = 0y0 x0正确的个数是（A）4（B）3（C）2（D）1【答案】（B
6、）ff ( x, 0) - f (0, 0)x - 0【解析】x(0,0) = limx0fx - 0fx (0, y )-1- f= limx0x= 1，正确 f = lim x (0, y )x (0, 0) = lim,xy(0,0)y0y - 0y0y而f= lim f ( x, y ) - f (0, y ) = lim xy - y = lim x -1 y不存在，所以错误；x (0, y )x0x - 0x0xx0xxy - 0 = xy , x - 0 =x , y - 0 =y , 从而( x, y) (0, 0) 时，lim( x, y )(0,0)f ( x, y) =
7、0 ，正确。lim f ( x, y ) = 0, xy 0或y = 0 , 从而limlim f ( x, y) = 0 ，正确x0 y ,x = 0y0 x0（6）设函数 f (x) 在区间-2, 2 上可导，且 f (x) f (x) 0 .则(A)f (-2) 1f (-1)(B)f (0) ef (-1)(C)f (1)f (-1) e2(D)f (2)f (-1) 0 ，从而 F (x) =单调递增.故 F (0) F (-1) ，也即exe0e-1，又有 f (x) 0 ，从而f (0)f (-1) e .故选(B).（7） 设 4 阶矩阵 A = (aij )不可逆，a12 的
8、代数余子式 A12 0 ,a1 ,a2 ,a3 ,a4 为矩阵 A 的列向量组， A* 为 A 的伴随矩阵，则 A* x = 0 的通解为（）（A） x = k1a1 + k2a2 + k3a3 ，其中k1, k2 , k3 为任意常数（B） x = k1a1 + k2a2 + k3a4 ，其中k1, k2 , k3 为任意常数（C） x = k1a1 + k2a3 + k3a4 ，其中k1, k2 , k3 为任意常数（D） x = k1a2 + k2a3 + k3a4 ，其中k1, k2 , k3 为任意常数【答案】（C）【解析】由于A 不可逆， 故r ( A) 4 ， A = 0 .由
9、A12 0 r ( A* ) 1，r ( A) 4 -1 = 3 ，则r ( A) = 3 ， r ( A* ) = 1，故 A* x = 0 的基础解系中有4 -1 = 3个无关解向量。此外， A* A = A E = 0 ，则 A 的列向量为 A* x = 0 的解。则由 A 0 ，可知a ,a ,a 线性12134无关（向量组无关，则其延伸组无关），故 A* x = 0 的通解为 x = k a + k a + k a，即选1 12 33 4项（C）正确。（8） 设 A 为 3 阶矩阵，a1,a2 为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，a3 为 A 的属 100 于特征值-1的
10、特征向量，则 P-1 AP = 0-10 的可逆矩阵 P 为（）（A） (a1 + a3,a2 , -a3 )（C） (a1 + a3, -a3,a2 ) 001 （B） (a1 + a2 ,a2 , -a3 )（D） (a1 + a2 , -a3 ,a2 )【答案】（D）【解析】设 P = (b , b 100 , b ) ，若 P-1 AP = 0-10 ，则 b , b 应为 A 的属于特征值 112313 001 的线性无关的特征向量， b2 应为A 的属于特征值-1的线性无关的特征向量。这里根据题设，a1,a2 为 A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量，则a1 + a2 也为
11、A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量。又因a3 为 A 的属于-1的特征向量，则-a3 也为 A 的属于特征值-1的特征向量。且 100 100 (a + a , -a ,a ) = (a ,a ,a ) 101 ,由于 101 可逆，1232123 0-10 0-10 故r(a1 + a2 , -a3 ,a2 ) = r(a1 ,a2 ,a3 ) = 3,即a1 + a2 , -a3 ,a2线性无关 100 综上，若 P = (b , b , b ) = (a + a , -a ,a) ，则 P-1 AP = 0-10 .1231232因此选项（D）正确。 001 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.x =t2 +1)2d 2 y（9） 设 y = ln (t +，则= t 2 +1d x t = 12【答案】-【解析】dy = 1dy
