易错、易忘、易混之不等式问题湖北郧西第三中学 张堂海邮编：442628 邮箱：yxzhangtanghai@ ：807745581不等式是高中数学的传统内容，是历年高考的重点.不等式的复习，也应重视四个方面：1.如何合理地使用不等式的性质；2.如何准确把握均值不等式成立的三个条件；3.解不等式时的变形是否等价，有无遗漏；4.恒、能、恰成立问题你能否区分清楚？【易错点1】 不等式的性质应用错误例1.已知二次函数的图象过原点，且，，求的取值范围.【易错点分析】 若单独求出、的范围，即把、分割成两个孤立的量，再求的取值范围，则会使其范围扩大！解析：由的图象过原点，可得，故.设（、为待定系数），则，即，∴ 解得∴. ∵，，∴，即.【知识点归类点拔】 由于同向不等式的可加性是单向性，即，但反之不成立，因而在多次运用同向不等式相加这一性质时，往往会导致所求式的取值范围的扩大. 因此在处理此类问题时，需要把，，即把、整体地看待、处理，体现了数学中的整体思想.【练习1】 已知，，求的取值范围.答案：[714] （提示：）【易错点2】 误认为均值不等式是“万能”的例2.（1）求函数的值域；（2）求函数的值域；（3）求函数的值域.【易错点分析】 不能紧抓均值不等式问题中的“正、定、等”三大要素，另外，也会出现机械地理解为只要有“定”，就可以利用均值不等式. 其实，均值不等式不是“万能”的！解析：（1）.①当时，，∴，即，当且仅当，即时取等；②当时，，∴，即，当且仅当，即时取等.故的值域为∪.（2）令，则，∴.设，则.∵，∴，，∴，即，∴函数在上是增函数，∴，∴，故函数的值域为.（3）利用复合函数的单调性，易知函数在上是增函数，∴，∴，故函数的值域为.【知识点归类点拔】 利用均值不等式处理问题时，必须紧抓住三大要素，即“一正、二定、三相等”，三者缺一不可！当不能取等（如（2））时，应利用“对号函数”是正常数）（因其图象类似“√”而命名）的单调性：“函数在上单调递减，在上单调递增”来处理相关问题. 一般地，能用均值不等式求最值（或范围）的，也可用“对号函数”来求，但反之不一定！【练习2】（1）求函数的值域；（2）求函数，且的值域.答案：（1） （提示：令，则，利用“对号函数”的性质可得）（2）当时，函数的值域为；当时，函数的值域为 （提示：令，则，利用“对号函数”的性质可得，再分和两种情况讨论）【易忘点】 遗漏对特殊元素、特殊情形的检验例3.解不等式：（1）；（2）. 【易忘点分析】 在使用数轴穿根法解不等式时，容易遗漏对某些特根能否取到的验证；对于解不等式中的分类讨论，也容易出现因忽视特例，从而导致分类出现遗漏.解析：（1）原不等式，利用数轴穿根法（如图），可得原不等式的解集为∪∪.（2）原不等式① 或，②由①，得即或；由②，得或.故原不等式的解集为∪∪.【知识点归类点拔】 在使用数轴穿根法解不等式时，首先把各项的最高项的系数化正，并关注根所在的位置：是在分子或是在分母，然后在数轴上标出相应的实心或空心，并遵循“奇（重根）穿偶（重根）不穿”的原则（如（1）中的根－1，是二重根，故不穿过）；分类讨论时应只针对某一个点，即分类讨论要有分类标准，并且做到“不重、不漏”，同时不要忘记对特殊情形的验证！【练习3】 已知，若的解集为，试求不等式的解集.答案：∪∪ （提示：）【易混点】 “能成立”、“恒成立”与“恰成立”问题相混例4.已知两个函数，，其中为实数.（1）对任意，都有成立，求实数的取值范围；（2）对任意，都有成立，求实数的取值范围；（3）存在，都有成立，求实数的取值范围；（4）不等式在区间上恰成立，求实数.【易混点分析】 “能成立”、“恒成立”与“恰成立”问题，是不等式问题中的一大考点，也是一大难点，很多学生往往因分不清三者之间的区别而张冠李戴！解析：设.（1）对任意，都有成立，等价于时，恒成立，故.令，得或；令，得，又，故在和上是增函数，在是减函数，∴在上的最小值为.由于，，∴，∴，得.（2）对任意，都有成立，等价于时，.令，得或，∴在上是增函数，在是减函数，在上是增函数，易知. 又，，故，由，得.（3）存在，都有成立，即在内能成立，故. 由（1）知，于是，得.（4）不等式在区间上恰成立，即不等式的解集为，∴，得.【知识点归类点拔】 ①不等式在区间D上恒成立在区间D上；不等式在区间D上恒成立在区间D上；②在区间D上存在实数x使不等式成立（即能成立或称有解）在区间D上；在区间D上存在实数x使不等式成立（即能成立或称有解）在区间D上；③不等式在区间D上恰成立不等式的解集为D；不等式在区间D上恰成立不等式的解集为D.【练习4】已知函数.（1）若在上有解，求实数的取值范围；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）（提示：不等式两边同除以正数，得）。