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1、2021年全国统一新高考数学试卷（新高考卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，3，4，则AB，C，D，3，2已知，则ABCD3已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A2BC4D4下列区间中，函数单调递增的区间是AB，CD，5已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为A13B12C9D66若，则ABCD7若过点可以作曲线的两条切线，则ABCD8有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的
2、球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，2，为非零常数，则A两组样本数据的样本平均数相同B两组样本数据的样本中位数相同C两组样本数据的样本标准差相同D两组样本数据的样本极差相同10已知为坐标原点，点，则ABCD11已知点在圆上，点，则A点到直线的距离小于10B点到直线的距离大于2C
3、当最小时，D当最大时，12在正三棱柱中，点满足，其中，则A当时，的周长为定值B当时，三棱锥的体积为定值C当时，有且仅有一个点，使得D当时，有且仅有一个点，使得平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数是偶函数，则14已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且若，则的准线方程为15函数的最小值为16某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折次，那
4、么四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和18（12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关
5、（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由19（12分）记的内角，的对边分别为，已知，点在边上，（1）证明：；（2）若，求20（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积21（12分）在平面直角坐标系中，已知点，点满足记的轨迹为（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和22（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：2021年全国
6、统一新高考数学试卷（新高考卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，3，4，则AB，C，D，3，【思路分析】直接利用交集运算得答案【解析】：，3，4，3，4，故选：【归纳总结】本题考查交集及其运算，是基础题2已知，则ABCD【思路分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解析】：，故选：【归纳总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A2BC4D【思路分析】设母线长为，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧
7、长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可【解析】：由题意，设母线长为，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有，解得，所以该圆锥的母线长为故选：【归纳总结】本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题4下列区间中，函数单调递增的区间是AB，CD，【思路分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解【解析】：令，则，当时，故选：【归纳总结】本题考查正弦函数单调性，是基础题5已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最
8、大值为A13B12C9D6【思路分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可【解析】：，是椭圆的两个焦点，点在上，所以，当且仅当时，取等号，所以的最大值为9故选：【归纳总结】本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，是基础题6若，则ABCD【思路分析】由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值【解析】：由题意可得：故选：【归纳总结】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，属于中等题7若过点可以作曲线的两条切线，则ABCD【思路分析】画出函数的图象，判断与函数的图象的位置关系，即可得到选项【解析】：函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，即取得坐标在
9、轴上方，如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立点在轴或下方时，只有一条切线如果在曲线上，只有一条切线；在曲线上侧，没有切线；由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知故选：【归纳总结】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题8有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立【
10、思路分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可【解析】：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：，两点数和为7的所有可能为，（甲，（乙，（丙，（丁，（甲丙）（甲（丙，（甲丁）（甲（丁，（乙丙）（乙（丙，（丙丁）（丙（丁，故选：【归纳总结】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，2，为非零常数，则A两组样本数据的样本平均数相同B两组样本数据的样
11、本中位数相同C两组样本数据的样本标准差相同D两组样本数据的样本极差相同【思路分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可【解析】：对于，两组数据的平均数的差为，故错误；对于，两组样本数据的样本中位数的差是，故错误；对于，标准差，两组样本数据的样本标准差相同，故正确；对于，2，为非零常数，的极差为，的极差为，两组样本数据的样本极差相同，故正确故选：【归纳总结】本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识，是基础题10已知为坐标原点，点，则ABCD【思路分析】由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案【解析】：，则，则，故正确；，故错误
12、；，故正确；，故错误故选：【归纳总结】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题11已知点在圆上，点，则A点到直线的距离小于10B点到直线的距离大于2C当最小时，D当最大时，【思路分析】求出过的直线方程，再求出圆心到直线的距离，得到圆上的点到直线的距离范围，判断与；画出图形，由图可知，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大，求出圆心与点间的距离，再由勾股定理求得判断与【解析】：，过、的直线方程为，即，圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离，点到直线的距离的范围为，点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故正确，错误；如图，当过的直线与圆
13、相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大），此时，故正确故选：【归纳总结】本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题12在正三棱柱中，点满足，其中，则A当时，的周长为定值B当时，三棱锥的体积为定值C当时，有且仅有一个点，使得D当时，有且仅有一个点，使得平面【思路分析】判断当时，点在线段上，分别计算点为两个特殊点时的周长，即可判断选项；当时，点在线段上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项；当时，取线段，的中点分别为，连结，则点在线段上，分别取点在，处，得到均满足，即可判断选项；当时，取的中点，的中点，则点在线的上，证明当点在点处时，平面，利用过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，即可判断选项【解析】：对于，当时，即，所以，故点在线段上，此时的周长为，当点为的中点时，的周长为，当点在点处时，的周长为，故周长不为定值，故选项错误；对于，当时，即，所以，故点在线段上，因为平面，所以直线上的点到平面的距离相等，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项正确；对于，当时，取线段，的中点分别为，连结，因为，即，所以，则点在线段上，当点在处时，又，所以平面，又平面，所以，即，同理，当点在处，故
