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1、淋雨量模型 一、问题的重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。 将人体简化为一个长方体，高a=1.5 m(颈部以下)，宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步距离d=1000m,跑步最大速度为=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2 cm/h，记跑步速度为v,按以下步骤进行讨论： （1） 不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。 （2） 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1。建立总淋雨量与速度v及参数a, b, c, d, u, w, 之间的关系，问速度v为多大，总淋雨
2、量最少。计算=0, =时的总淋雨量。 （3） 雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a, b, c, d, u, w, 之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算时的淋雨量。 （4） 以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义。 （5） 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。 二、问题的分析及思路 根据生活经验：若人静止站在地上，让雨淋着，雨速u越快，时间t越久，就会被淋的越惨，因为雨速与降雨量成正比，所以淋雨量Q与降雨量w（从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面
3、上积聚的水层深度，称为降雨量 ）有关，不难想象，若雨斜着落，则Q也会不同，所以Q与雨的方向有关；若人以速度v移动，u、t一定，那么人的身上的水即淋雨量Q就相对变小。跑的路程d越大，Q也越大，所以Q一定与v、d有关；若w和v都一定，那么一个身体宽大的和一个矮小的站在一起，那么宽大的那个身上的水可能就比矮小的多，所以Q还与被淋面积s有关 。综上所述，淋雨量Q与降雨量w、时间t、被淋面积s有关，可以知道这是一个优化模型。 三、模型假设 为了处理得的方便，可以把问题模型理想化，根据问题性质作如下假设： 1、雨速为常数且方向不变 2、将人体简化为一个长方体，高a=1.5 m(颈部以下)，宽b=0.5m，
4、厚 c=0.2m，设跑步距离d=1000m,跑步最大速度为=5m/s，雨速 u=4m/s，降雨量w=2 cm/h，且这些量在一定的时间是不变量， 即忽略外界因素的影响。 3、人匀速v跑动。四、模型建立 将淋雨量Q表示成被淋面积s、被淋时间t和降雨量w有关的函数，即Q=stw，在此得重点分析被淋面积s，雨速与降雨量成正比，当雨速为时，降雨量，根据不同具体模型，s有不同表示，所以得根据下面不同情况建立Q的函数。五、模型求解问题（1）：因为不考虑雨的方向，所以跑步过程中只有模型底部不会被淋到，故被淋表面积s=2ab+2ac+bc=2.2m2，又因为以最大速度匀速跑，故时间t=1000/5s=200s
5、，降雨量w=2cm/h=1/180000m/s,所以淋雨量由表达式Q=stw=2.44L。问题（2）：因为雨线与跑步方向在同一个平面且与人体夹角为，故由理想条件知只有顶部和正面被淋到雨。首先分析顶部淋雨量，由图可知此时只有竖直向下的雨速是有效的雨速，此时为u1=ucos(),降雨量为w1=u1/u*w=wcos，当速度为v时，时间t=d/v，面积s1=bc，故Q1=s1*t*w1=(bcdwcos)/v，再分析正面淋雨量Q1，此时只有水平方向的雨量时有效的，由速度合成可知，相对人的有效雨速u2=v+usin，此时降雨量w2=u2/u*w=w（usin+v）/u，面积s2=ab，故降雨量Q2=s
6、2*t*w2=abdw（usin+v）/（uv），故总淋雨量Q=Q1+Q2=（bdw）*【cucos+a（usin+v）】/(uv),v=Vm时Q最小，=0.Q1.15L，=300，Q1.55L。问题3:同上所知，头部淋雨量Q3=(bcdwcos)/v，此时，水平方向：当vucos时，此时相对雨速v-ucos，正面淋雨量Q4=abdw（v-ucos）/（uv）；当v0对式求导，易知u sin时，且090，对（*）式求导， 解得： ()、当1.5sin0.2 cos0时，即 ：tan2/15,即Q0时，即 ：tan2/15,即Q0；从而推出，总淋雨量（Q）随着速度（v）的增加而增加，所以，当速度
7、（v）取最小，即v=u sin 总淋雨量最小。当30,当时，由（1）知总淋雨量最小； 当v u sin时，且此时tan2/15，由（2）中（ii）知 总淋雨量最小；综上所述:此时=2m/s,最小淋雨量Q0.24L问题4：根据问题3中所求的降雨总量然后对式子分别求导可以可画出图如下：结果的实际意义：与从背面吹来时，只要满足：tanc/a =2/15则时Q最小，相当于人的前面背面都不会淋雨，只有顶部淋雨结果分析： (1):由以上三个模型可知在一定速度下，人跑的越快，淋雨越少。(2):当雨线和人跑步方向不在同一方向时，这个模型仍然没有变化，比如当雨线与人跑步方向垂直且与竖直面夹角为时，只需要考虑顶部和侧面的淋雨量，此时的做法仍主要是建立直角坐标系，并分解速度，求出降雨量，再算出淋雨量，方法同上。(3):当雨线和人的跑步方向不在同一平面时,只需分解为应对几个淋雨面积,用同样的方法建立模型进行求解。只不过过程较为繁杂。
