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1、北师大 结构化学 课后习题第一章 量子理论基础习题答案1 什么是物质波和它的统计解释？参考答案:象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，代表粒子的几率密度，在时刻t，空间q点附近体积元内粒子的几率应为；在整个空间找到一个粒子
2、的几率应为 。表示波函数具有归一性。2 如何理解合格波函数的基本条件？参考答案合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。由于波函数代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrdinger方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分必为一个有限数。3 如何理解态叠加原理？参考答案在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波
3、长和频率）。而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。某一物理量Q的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q1状态，部分地处于Q2态，。各种态都有自己的权重（即成份）。这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。但量子力学可以计算出测量的平均值。4 测不准原理的根源是什么？参考答案根源就在于微观粒子的波粒二象性。5 铝的逸出功是4.2eV，用2000的光照射时，问（a）产生的光电子动能是多少？(b)与其相联系的德布罗依波波长是多少？(c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？参考答案 (a)根据爱因斯坦光电方程，又，得光电子动能： (b)由德布罗
4、依关系式，相应的物质波波长为(c) 由不确定关系式，若位置不确定量，则动量不确定量 6 波函数e-x(0x)是否是合格波函数,它归一化了吗？如未归一化，求归一化常数。参考答案没有归一化，归一化因子为7 一个量子数为n，宽度为的一维势箱中的粒子,在01/4 的 区域内的几率是多少？n取何值时几率最大？当n时，这个几率的极限是多少？参考答案（1）（2） （3）8 函数是不是一维势箱中粒子的可能状态？如果是，其能量有无确定值？如果有，是多少？如果能量没有确定值，其平均值是多少？参考答案根据态叠加原理，是一维势箱中粒子一个可能状态。能量无确定值。平均值为9 在这些算符，, exp, 中，那些是线性算符
5、？参考答案 和 是线性算符.10 下列函数, 那些是的本征函数? 并求出相应的本征值。(a) eimx (b) sinx (c) x2+y2 (d) (a-x)e-x参考答案 (a) 和 (b) 是的本征函数，其相应的本征值分别为-m2和-1。11 有算符 求。 参考答案根据算符之积的定义 北师大 结构化学 课后习题第二章 原子的结构与性质1. 简要说明原子轨道量子数及它们的取值范围？解：原子轨道有主量子数n，角量子数，磁量子数m与自旋量子数s，对类氢原子（单电子原子）来说，原子轨道能级只与主量子数n相关。 对多电子原子，能级除了与n相关，还要考虑电子间相互作用。角量子数决定轨道角动量大小，磁
6、量子数m表示角动量在磁场方向（z方向）分量的大小，自旋量子数s则表示轨道自旋角动量大小。n取值为1、2、3；0、1、2、n1；m0、1、2、l；s取值只有。 2. 在直角坐标系下，Li2+ 的Schrdinger 方程为_ 。 解：由于Li2+属于单电子原子，在采取“B-O” 近似假定后，体系的动能只包括电子的动能，则体系的动能算符：；体系的势能算符：故Li2+ 的Schrdinger 方程为： 式中：，r = ( x2+ y2+ z2)1/2 3. 对氢原子，其中 都是归一化的。那么波函数所描述状态的（1）能量平均值为多少？（2）角动量出现在 的概率是多少？，角动量 z 分量的平均值为多少？
7、解： 由波函数得：n1=2, l1=1,m1=0; n2=2, l2=1,m2=1; n3=3, l3=1,m3=-1;（1）由于都是归一化的，且单电子原子故 (2) 由于, l1=1，l2=1，l3=1，又都是归一化的，故则角动量为出现的概率为： (3) 由于, m1=0,m2=1,m3=-1; 又都是归一化的，故4. 已知类氢离子 He+的某一状态波函数为： （1）此状态的能量为多少？ （2）此状态的角动量的平方值为多少？ （3）此状态角动量在 z 方向的分量为多少？ （4）此状态的 n， l， m 值分别为多少？ （5）此状态角度分布的节面数为多少？解：由He+的波函数，可以得到：Z=2
8、，则n=2, l=0, m=0(1) He+为类氢离子，则 (2) 由l=0，,得(3) 由|m|=0，得 (4) 此状态下n=2, l=0, m=0 (5) 角度分布图中节面数= l，又l=0 ，故此状态角度分布的节面数为0。5. 求出Li2+ 1s态电子的下列数据：(1)电子径向分布最大值离核的距离；(2)电子离核的平均距离；(3)单位厚度球壳中出现电子概率最大处离核的距离；(4)比较2s和2p能级的高低次序；(5) Li原子的第一电离能。（）解：(1) Li2+ 1s态电子的 则 又1s电子径向分布最大值在距核 处。（2）电子离核的平均距离 (3) ，因为随着r 的增大而单调下降，所以不
9、能用令一阶导数为0的方法求其最大值离核的距离。分析 的表达式可见，r=0时 最大，因而 也最大。但实际上r不能为0（电子不可能落到原子核上），因此更确切的说法是r 趋近于0时1s电子的几率密度最大。(4) Li2+为单电子“原子”，组态的能量只与主量子数有关，所以2s和2p态简并，即即 E 2s= E 2p(5) Li原子的基组态为(1s)2(2s)1 。对2s电子来说，1s电子为其相邻内一组电子，s=0.85。因而：根据Koopmann定理，Li原子的第一电离能为：6. 已知 H 原子的 试回答： (1) 原子轨道能 E 值； (2) 轨道角动量绝对值M； (3) 轨道角动量和 z 轴夹角的
10、度数。 解：由H 原子的波函数可以得到其主量子数n=2，角量子数l=1，磁量子数m=0(1) 对单电子原子，故原子轨道能为：（2）由轨道角动量的大小，则轨道角动量为：（3）由轨道角动量在磁场方向（Z轴的方向）上的分量，设轨道角动量M和Z轴的夹角为，则： 则q=907. 一个电子主量子数为 4， 这个电子的 l， m， ms 等量子数可取什么值？这个电子共有多少种可能的状态？ 解：（1）由电子主量子数为n= 4，角量子数l的取值范围为0，1，2，n-1, 则l=0, 1, 2, 3（2）由磁量子数m的取值范围为0，1，2，l，则m=0，1，2，3（3）对单个电子 ms=1/2（4）这个电子l=0
11、, 1, 2, 3，s=1/2,对于每一个不同的l、s 值，对应(2l+1) (2 s +1)个可能的状态，则这个电子共有：（20+1）(21/2+1)+（21+1）(21/2+1)+（22+1）(21/2+1)+ (23+1）(21/2+1) =2+6+10+14=32 8. 碳原子 1s22s22p2组态共有 1S0，3P0，3P1，3P2，1D2等光谱支项，试写出每项中微观能态数目及按照 Hund 规则排列出能级高低次序。 解：碳原子 1s22s22p2组态对应光谱支项有：1S0，3P0，3P1，3P2，1D2，则每个谱项对应的各量子数见下表：1S03P03P13P21D2S01110L
12、01112J000022J+111355(1)根据Hund 规则，原子在同一组态下S值最大者能级最低：则由上表可以得到：3P0 、3P1 、3P2 能量相对较低；对于一定L和S值，在电子壳层半满前（2p2），J值愈小，能级愈低，则该3个谱项的能级高低顺序为：3P23P13P0 ；由原子在同一组态下S值相同，L值最大者，能级最低，则剩余两个谱项的能级高低顺序为：1S01D2 , 由此可以得到5个谱项的能级高低顺序为：1S01D23P23P13P0 (2)由于在磁场中光谱支项分裂为：（2J+1）个能级，因此光谱支项1S0、1D2、3P2、3P1、3P0对应的微观能态数目为1、5、5、3、1。 9.
13、 求下列谱项的各支项，及相应于各支项的状态数： 2P； 3P； 3D； 2D； 1D 解：（1）由谱项2P可以得到对应的S=1/2、L=1,对于LS,J=L+S,L+S-1,|L-S|,则J=3/2、1/2,对应的光谱支项为 2P3/2、2P1/2；每个光谱支项对应的微观状态数为：（2J+1）,其状态数分别为4和2。 (2) 由谱项3P可以得到对应的S=1、L=1, 则J=2、1、0, 光谱支项为 3P2 , 3P1 , 3P0 , 其状态数分别为 5, 3, 1 。 （3）由谱项3D可以得到对应的S=1、L=2, 则J=3、2、1,光谱支项为 3D3 , 3D2 , 3D1 , 其状态数分别为 7, 5, 3 。 （4）由谱项2D可以得到对应的S=1/2、L=2, 则J=5/2、3/2,光谱支项为 2D5/2 , 2D3/2, 其状态数分别为 6, 4。 (5) 由
