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1、沖沪/学实验报告课程名称：指导老师 成绩：实验名称:离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型:同组学生姓名:一、实验目的和要求(必填)二、实验内容和原理(必填)三、主要仪器设备(必填)四、操作方法和实验步骤五、实验数据记录和处理六、实验结果与分析(必填)七、讨论、心得一、实验目的和要求1. 掌握DFT的原理和实现2. 掌握FFT的原理和实现，掌握用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。二、实验内容和原理2.1 DTFT 和 DFTX (e jQ)=込 x(n)e -n=0序列x(n)的离散事件傅里叶变换(DTFT)表示为：X (eQ)二如果x(n)为因果有限长序列，n=O,l,.,N-l
2、,则x(n)的 DTFT表示为: x(n)的离散傅里叶变换(DFT)表达式为：X (k) = -1 x(n)e-jTnk (k = 0,1,., N -1)n=0，序列的N点DFT是DTFT在0,2n上的N点等间隔采样，采样间隔为2n/N。通过DFT， 可以完成由一组有限个信号采样值x(n)直接计算得到一组有限个频谱采样值X(k)。X(k)的幅 度谱为|X(k)| = .JX2(k) + X2(k)，XR(k)和XI(k)分别为X(k)的实部和虚部。X(k)的相位谱 RIR1为 (k) = arctan Xi(k。X (k)R离散傅里叶反变换dDFT)定义为x(n)二护X kj (n二0,1,
3、N -1)n=02.2 FFT快速傅里叶变换(FFT)是DFT的快速算法，它减少了 DFT的运算量，使数字信号的处理 速度大大提高。三、主要仪器设备PC 一台， matlab 软件四、实验内容4.1 第一题求有限长离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT) X(ej今并绘图。(1 2 n 2 (1)已知 x(n) = ； (2)已知 x(n) = 2n 0 n 2X8n，满足采样定理。3. 采样后的信号，为X（3）以20 n为周期的延拓。所以只在（8+20k）n （k为任意整 数）处不为0.如取区间0,20n内，只有8n和16n处不为0。进行N点DFT后，将8兀12兀20 n的区间映
4、射为0,N区间。理想情况下仅在n= x N和 xN两处不为0。 20k20k4. x（n） = cos（8兀nTs） = cos（0.8兀n），周期为5,所以取采样点数为5的倍数时，不会发0生泄漏；而采样点数不是5的倍数时，则会发生泄漏。11 1 1 1 1 1 . 1 . . . 1. . . 1 . . .1 . . . 1 . . 1 .0Figure6原始信号的频谱X （Q）4.3.2编程计算作图编写一个获得信号的N点样本的函数sample （点数N）function x=sample(N)t=0:0.1:(N-1)*0.1;%0.1s为间隔x=3*cos(8*pi*t);%即采样结果
5、。End输入:X=sample（N）;FFT1（X,N）;即可获得采样 N 点的频谱图。因为 DFT 结果与 FFT 是完全一样的，所以这里只使用 FFT 作图。取采样点数N=5 16 20 104获得以下频谱图：Figure7 N=5Figure8 N=16 1111-d：-TFigure9N=20Figure 10 N=104可以看出，N=5和20时，由于是周期的整数倍，频谱只有两条谱线，且满足前面 理论计算得出的公式n= 竺xN和竺xN，没有发生泄漏，且这两条谱线对应20 兀25的相位是0.所以频谱与原信号频谱在形式上时相同的。而N=16和N=54时，则都 发生了频谱泄漏，频谱与原信号频
6、谱就很不同了。但相比之下N=54时谱线更加接近原谱线。验证了“为减小泄漏误差，如果待分析的信号实现不知道确切周期， 则截取较长时间长度的样点进行分析”这个说法。同时也可以发现，虽然幅频图中显示幅值为0，但相频图中相应的位置仍有谱线。这可能是matlab浮点运算造成的误差，即本来为0处其实是一个非常小的复数， 所以仍有一定相位。4.4 第四题4.4.1 理论分析若噪声信号较小，则采样后的频谱仍能较准确地反映原信号的特征4.4.2 编程计算对原采样程序稍加改编，加入一个噪声信号p*randn(l,N)。p表示噪声信号的强度。 function x=samplenoise(N,p)t=0:0.1:(
7、N-1)*0.1;x=3*cos(8*pi*t)+p*randn(1,N);end 取采样点数 N=20 进行分析。输入：X=samplenoise(20,p); %取P=1 和10 两种情况。FFT1(X,20);-2-402468101214161820kFigurell N=20 噪声较小(p=1)Figure12 N=20 噪声较大(p=10)可见，较小的噪声对信号的频谱的影响不大，仍能较精确地获得频谱图。而噪声较大时则很 难准确获得原信号的频谱。4.5 第五题3.5 已知序列x(n) = 48 (n) + 38 (n-1) + 28 (n-2) +8 (n-3) , X(k)是 x(n)的 6 点 DFT，设W-k 二ejNk。N(1)若有限长序列y(n)的6点DFT是Y(k) = W-kX(k)，求y(n)。 6(2)若有限长序列w(n)的6点DFT W(k)是X(k)的实部，求w(n)。(3)若有限长序列 q(n)的 3 点 DFT 是Q(k)二 X(2k) , k=0,l,2，求 q(n)。由题意得到：x(n)=4,3, 2, 1, 0, 0 n=(0,1,2,3,4,5)451理论分析1) 由DFT的性质可以得到，如果
