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1、第一章2 取节点对建立型二次插值函数，并估计差。解3 已知函数在处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。 解：（1） 采用Lagrange插值多项式其误差为（2）采用Newton插值多项式 根据题意作差商表：一阶差商二阶差商04216.252.52936 已知由数据构造出的插值多项式的最高次项系数是6，试确定。 解：= =中最高次项系数为：10 已知，求差商和。解：根据差商与微商的关系，有16 求作满足条件的插值多项式 。 解法1：根据三次Hermite插值多项式：并依条件，得解法2：由于，故可直接由书中（3.9）式，得18 作满足条件的插值多项式，并估计其误差。 解法1：
2、由已知条件0121293用基函数方法构造。令其中，均为三次多项式，且满足条件依条件可设，由 可得：同理，误差为：解法2：用承袭性构造由条件先构造一个二次多项式作差商表：一阶差商二阶差商001112122973于是有：令所求插值多项式利用剩下的一个插值条件，得 由此解出 故有22 根据给定的数据表 12324121-1建立一个三次样条插值函数。解： 由已知作差商表0121242231283 节点等距 第二章4 求，使积分取得最小值。解：题意即为在中求的最佳平方逼近多项式，故满足法方程或者按下述方法：因为上式分别对求偏导，并令其为零，有从而也有 ，6对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式。解
3、： 7 利用正交化方法求上带权的前三个正交多项式。解：8 判断函数在上两两正交，并求一个三次多项式，使其在上与上述函数两两正交。解：（1）， ， 所以，在上两两正交。（2）设所求多项式为 9 用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解。注：给定线性代数方程组，当时，称其为超定方程组。求使得 取最小值。应用微分学中多元函数求极值的方法可以证明为方程组 的解。称为超定方程组的最小二乘解。解法一：由题意得：所以即是所求的最小二乘解。误差平方和为 解法二：求，使误差平方和为最小，令得方程组如下： 解方程组有： 10 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。 19253138
4、4419.032.349.073.397.8解：将=19,25,31,38,44分别代入，得 所以误差12 求函数在给定区间上对于的最佳平方逼近多项式： 解：设（1）13 上求关于的最佳平方逼近多项式。解：Legendre是-1，1上的正交多项式取，=14 求在上的三次最佳平方逼近多项式。解：16求上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。解：设 第三章3 分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.(1)，（3），解：（1）用复化梯形公式有：，由复化Simpson公式有：解：删去 解（3）： 由复化梯形公式有：由复化公式有：（4）解：由复化梯形公式：由复化Simpson公式：5
5、 给定积分。（1） 利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过（2） 取同样的求积节点，改用复化Simpson公式计算时，截断误差是多少？（3） 如果要求截断误差不超过，那么使用复化Simpson公式计算时，应将积分区间分成多少等分？ 解：(1) =,当误差时，25.6, 所以取=26。（2）9 对构造一个至少具有三次代数精度的求积公式。解：因为具有4个求积节点的插值型求积公式，至少有三次代数精度。如果在上取节点0，1，2，3，则插值型求积公式为：其中系数为同理求得即有：11构造下列求积公式，并指明这些求积公式所具有的代数精度： 解（1）：令原式对于准确成立，于是有 解之得 ， 于是有
6、求积公式 容易验证，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。解（2）：令原式对于准确成立，于是有 解之得 于是有求积公式 容易验证当时，而 可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。解(3)：令原式对于准确成立，于是有 解得: 于是有求积公式 容易验证，当时，而 可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。12. 利用代数精度方法构造下列两点Gauss求积公式： 解（1）：令原式对于准确成立，于是有 利用的第1式，可将第2式化为 同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得 由式消去得进一步整理由此解出解得：因此所求的两点Gauss求积公式：或依下面的思想：
7、解（2）：令原式对于准确成立，于是有 利用的第1式，可将第2式化为 同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得 由式消去得 进一步整理 由此解出解得：因此所求的两点Gauss求积公式：或依下面的思想：14 用三点求积公式计算积分，并估计误差。解：作变换则得由三点Gauss-Legendre公式：其估计误差为：,（）。其准确值其准确误差等于：第四章5对下列给定的矩阵A作LU分解，并利用分解结果计算A-1。 解： L= U= 由6。用Doolittle分解法解方程组 解：A=其中L= U=由Ly= 解得y=由Ux=y ， 解得x=7。用Crout分解法接方程组。解：由Ly=b= 得y
8、=由Ux=y= 得x=11已知，求。解： ，12。已知 解：由范数定义得 第五章2 设方程组 考察用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解次方程组的收敛性； 用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解次方程组，要求时迭代终止。解：（1） 因为，故Jacobi迭代法收敛。又：所以Gauss-Seidel的迭代矩阵 因为故Gauss-Seidel迭代法收敛。据方程组的Jacobi迭代格式：取计算求得 由于，因此，所求的解为 另据Gauss-Seidel迭代格式为： 取计算求得 由于，因此，所求的解为 因为系数矩阵是严格对角占优矩阵，所以Jacobi迭代法和Gauss-Se
9、idel迭代法均收敛。此方程组的Jacobi迭代格式为：取，可求得由于故所求解为：据Gauss-Seidel迭代格式：取求得： 由于，故所求解为： 3设方程组试考察此方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。解：所给方程组的Jacobi迭代矩阵因为解得：则，所以解此方程组Jacobi迭代法收敛。所给方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵因为解得：则所以解此方程组Gauss-Seidel迭代法收敛。Jacobi迭代矩阵因为则，所以解此方程组Jacobi迭代法收敛。Gauss-Seidel迭代矩阵因为解得： 则，所以解此方程组Gauss-Seidel迭代法不收敛。5 讨
10、论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛较快，其中解：Jacobi迭代法迭代矩阵，所以，Jacobi迭代收敛。Gauss-Seidel迭代矩阵所以，Gauss-Seidel迭代收敛因为，故Gauss-Seidel迭代法较Jacobi迭代法收敛快。Jacobi迭代法迭代矩阵所以，Jacobi迭代不收敛。Gauss-Seidel迭代：所以，Gauss-Seidel迭代收敛。6设方程组的系数矩阵，试求能使Jacobi迭代法收敛的的取值范围。解：当时，Jacobi迭代矩阵由得故，由得时，Jabico迭代法收敛。7设方程组，系数矩阵为试给出能使Guass-Seidel迭代收敛的充要条件。解：Gauss-Seidel迭代矩阵由，得Guass-Seidel迭代收敛的充要条件是。8给定方程组证明：解此方程组的Jacobi迭代法发散，而Gauss-seidel迭代法收敛。证明：Jacobi迭代矩阵解得：所以，Jacobi迭代法发散。又Gauss-seidel迭代矩阵为可见，G的特征值为所以，Gauss-seidel迭代法收敛。第八章1用Euler格式计算初值问题的解函数在时的近似值（取步长保留到小数点后4位）。解：将代人Euler格式，注意到则有：据可得计算结果如下即
