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1、1概率论与数理统计答案习题答案第1章 三、解答题 1设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A B) = P(A) 解：(4) (6)正确. 2设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为，又因为即 所以(1) 当时P(AB)取到最大值，最大值是=0.6.(2) 时P(AB)取
2、到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3已知事件A，B满足，记P(A) = p，试求P(B) 解：因为，即，所以 4已知P(A) = 0.7，P(A B) = 0.3，试求 解：因为P(A B) = 0.3，所以P(A ) P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A ) 0.3,又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7 0.3=0.4，. 5 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有种，以下求至少有两只配成一双的取法：法一：分两种情况考虑：+ 其中：为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：+ 其中：
3、为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：+ 其中：为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：-法五：考虑对立事件：- 其中：为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件： 其中：为没有一双配对的方法数所求概率为 6在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率 解：(1) 法一：，法二： (2) 法二：，法二： 7将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则, , 8设5个产
4、品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 , 9口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率 解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则.所以 10 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率 解：这是一个几何概型问题以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间W =
5、 (x，y)：0 x，y 1 事件A =“两数之和小于6/5”= (x，y) W ： x + y 6/5因此图？ 11随机地向半圆（为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率 解：这是一个几何概型问题以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，q表示原点和该点的连线与轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 W=(x，y)： 事件A =“原点和该点的连线与轴的夹角小于” =(x，y)：因此 12已知，求 解： 13设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格
6、品，则另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；， 14有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱
7、子中取出的1个球是白球”，则，由全概率公式得由贝叶斯公式得 15将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？ 解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知所以由贝叶斯公式得 16三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？ 解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.已知所以至少有一人能将此密码译出的概率为 17设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(
8、AB) = 0.7，求. 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(AB)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)将P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以或者,由于A与B相互独立,所以A与相互独立，所以 18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？ 解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”，已知P(A)=P(B)=1,所以由于甲乙两人是独立射击目标，所以 19某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三
9、道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？ (2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？ 解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.（1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=第二种工艺加
10、工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。 1设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC = ，且已知，求P(A) 解：因为ABC = ，所以P(ABC) =0,因为A，B，C两两相互独立，所以由加法公式得 即 考虑到得 2设事件A，B，C的概率都是，且，证明： 证明：因为，所以将代入上式得到整理得 3设0 P(A) 1，0 P(B
11、) 1，P(A|B) +，试证A与B独立 证明：因为P(A|B) +，所以将代入上式得两边同乘非零的P(B)1-P(B)并整理得到所以A与B独立. 4设A，B是任意两事件，其中A的概率不等于0和1，证明是事件A与B独立的充分必要条件 证明：充分性，由于，所以即两边同乘非零的P(A)1-P(A)并整理得到所以A与B独立. 必要性：由于A与B独立，即且所以一方面另一方面所以 5一学生接连参加同一课程的两次考试第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为. (1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率 (2) 若已知他第二次及格了
12、，求他第第一次及格的概率 解：设Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知由全概率公式得(1) 他取得该资格的概率为(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为 6每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%求检验一箱产品能通过验收的概率 解：设Ai=“一箱产品有i件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”.已知由全概率公式又由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为 7用一种检验法检验产品中是否含有某种
13、杂质的效果如下若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率 解：A=“一产品真含有杂质”，Bi=“对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i=1,2,3. 已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B1，B2发生了，而B3未发生.又知所以所求概率为由于三次检验是独立进行的，所以 8火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？ (2) 都不被击毁的概率等于多少？ 解：设Ai=“第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4. 已知所以 (1) 火炮被击毁的概率为 坦克被击毁的概率为 (2) 都不被击毁的概率为 9甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜
