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1、2021年高考全国1卷理科数学及答案绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：
2、本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合24260M x x N x x x =-A 43x x -B 42x x -C 22x x -D 23x x 2设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则 A 22+11()x y += B 221(1)x y +=- C 22(1)1y x +-= D 22(+1)1y x +=3已知0.20.32log 0.220.2a b c =，则 A a b c4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂
3、维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A 165 cm B 175 cm C 185 cm D 190 cm5函数f （x ）=2sin cos +x xx x在,-的图像大致为 A B C D 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A 516 B 1132 C 2132 D 1116 7已知非零向量a ，b 满足|2|=a b ，且()-a b b ，则a 与b
4、的夹角为A 6B 3C 23D 56 8如图是求112122+的程序框图，图中空白框中应填入A A =12A + B A =12A +C A =112A+D A =112A+ 9记n S 为等差数列n a 的前n 项和已知4505S a =，则 A 25n a n =-B 310n a n =-C 228n S n n =- D 2122n S n n =- 10已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点若22|2|AF F B =，1|AB BF =，则C 的方程为A 2212x y += B 22132x y += C 22143x y
5、 += D 22154x y += 11关于函数()sin |sin |f x x x =+有下述四个结论：f （x ）是偶函数 f （x ）在区间（2,）单调递增f （x ）在,-有4个零点 f （x ）的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A B C D 12已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，CEF =90，则球O 的体积为A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为_14记S n 为等比数列
6、a n 的前n 项和若214613a a a =，则S 5=_15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是_16已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C的两条渐近线分别交于A ，B 两点若1F A AB =，120F B F B ?=，则C 的离心率为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第172
7、1题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17（12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=- （1）求A ；（22b c +=，求sin C 18（12分）如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，BAD =60，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点（1）证明：MN 平面C 1DE ；（2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值19（12分）已知抛物线C ：y 2=3x
8、 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |20（12分）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x 为()f x 的导数证明： （1）()f x 在区间(1,)2-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点21（12分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当
9、其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=+(1,2
10、,7)i =，其中(1)a P X =-，(0)b P X =，(1)c P X =假设0.5=，0.8=（i ）证明：1(0,1,2,7)i i p p i +-=为等比数列；（ii ）求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4?4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x tt y t ?-=?+?=?+?，（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110+=（1）
11、求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值23选修4?5：不等式选讲（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1证明：（1）222111a b c a b c+； （2）333()()()24a b b c c a +2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学?参考答案一、选择题1C 2C 3B 4B 5D 6A 7B 8A 9A 10B 11C 12D 二、填空题 13y =3x 141213150.18162 三、解答题17解：（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc
12、+-=由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-= 因为0180A ?=（2）由（1）知120B C ?=-，()sin 1202sin A C C ?+-=，1sin 2sin 2C C C +=，可得()cos 602C ?+=-由于0120C ?)sin 60C ?+=，故 ()sin sin 6060C C ?=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ?=+-+= 18解：（1）连结B 1C ，ME 因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME B 1C ，且ME =12B 1C 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D
13、由题设知A 1B 1=DC ，可得B 1C =A 1D ，故ME =ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED 又MN ?平面EDC 1，所以MN 平面C 1DE （2）由已知可得DE DA 以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则 (2,0,0)A ，A 1（2,0,4），2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(12)A M =-，1(1,0,2)A N =-，(0,MN =设(,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ?=?=?m m ，所以2040x z z ?-+-=?-=?，可取=m 设(,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ?=?=?，n n所以020p r ?=?-=?，可取(2,0,1)=-n 于是cos ,|5?=m n m n m n ， 所以二面角1A MA N -的正弦值为5 19解：设直线()()11223:,2l y x t A x y B x y =+ （1）由题设得3,04F ? ?，故123|2AF BF x x +=+，由题设可得1252x x +=由2323y x t y x?=+?=?，可得22912
