第1章 质点运动学1.1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3．试求：（1）第2s内的位移和平均速度；（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．解：（1）质点在第1s末的位移大小为x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．在第2s末的位移大小为x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)．在第2s内的位移大小为Δx = x(2) – x(1) = 4(m)，经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为=Δx/Δt = 4(m·s-1)．（2）质点的瞬时速度大小为v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1)，v(2) = 12×2 - 6×22 = 0，质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m．（3）质点的瞬时加速度大小为a(t) = dv/dt = 12 - 12t，因此1s末的瞬时加速度为a(1) = 12 - 12×1 = 0，第2s内的平均加速度为= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s-2)．[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．1.2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为．并由上述数据求出量值．证：依题意得vt = nvo，根据速度公式vt = vo + at，得a = (n – 1)vo/t ------- (1)根据速度与位移的关系式 vt2 = vo2 + 2as， 得a = (n2 – 1)vo2/2s ------- (2)(1}平方之后除以 (2)式证得．计算得加速度为= 0.4(m·s-2)．70m22.5º图1.31.3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10m·s-2．问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？解：方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为vy0 = v0sinθ = 24.87(m·s-1)．取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式vt - v0 = at，这里的v0就是vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为t1 = vy0/g = 2.49(s)．再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式vt2 - v02 = 2as，可得上升的最大高度为h1 = vy02/2g = 30.94(m)．他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为h2 = h1 + h = 100.94(m)．根据自由落体运动公式s = gt2/2，得下落的时间为= 4.49(s)．因此他飞越的时间为t = t1 + t2 = 6.98(s)．他飞越的水平速度为vx0 = v0cosθ = 60.05(m·s-1)，所以矿坑的宽度为x = vx0t = 419.19(m)．（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为vy = gt = 69.8(m·s-1)，落地速度为v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(m·s-1)，与水平方向的夹角为φ = arctan(vy/vx) = 49.30º，方向斜向下．方法二：一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程，解得 ．这里y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为t = 6.98(s)．由此可以求解其他问题．1.4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k为常数．（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；（2）试证在时间t内，船行驶的距离为．证：（1）分离变量得， 积分 ， 可得 ．（2）公式可化为，由于v = dx/dt，所以 积分 ．因此 ． 证毕．[讨论] 当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma．由于a = d2x/dt2，而 dx/dt = v，所以 a = dv/dt，分离变量得方程 ，解方程即可求解．在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则dv/dt = -kvn．（1）如果n = 1，则得 ，积分得lnv = -kt + C．当t = 0时，v = v0，所以C = lnv0，因此lnv/v0 = -kt，得速度为 v = v0e-kt．而dv = v0e-ktdt，积分得．当t = 0时，x = 0，所以C` = v0/k，因此 ．（2）如果n≠1，则得，积分得．当t = 0时，v = v0，所以，因此．如果n = 2，就是本题的结果．如果n≠2，可得，读者不妨自证．1.5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求：（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解：（1）角速度为ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rad·s-1)，法向加速度为 an = rω2 = 230.4(m·s-2)；角加速度为 β = dω/dt = 24t = 48(rad·s-2)，切向加速度为 at = rβ = 4.8(m·s-2)．（2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，即．由此得，即 ， 解得 ．所以 =3.154(rad)．（3）当at = an时，可得rβ = rω2，即 24t = (12t2)2， 解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．1.6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s-1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20m·s-2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？解：建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为v0x = v0cosθ，v0y = v0sinθ．yxOαv0θaaxayv0xv0y加速度的大小为ax = acosα，ay = asinα． 运动方程为，．即 ， ．令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为t = 0（舍去）；(s)．将t代入x的方程求得x = 9000m．[注意]选择不同的坐标系，例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果．RA图1.71.7 一个半径为R = 1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt = 2.0s内下降的距离h = 0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．解：圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．由于，所以at = 2h/Δt2 = 0.2(m·s-2)．物体下降3s末的速度为v = att = 0.6(m·s-1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为= 0.36(m·s-2)．1.8 一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．解：在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为；螺帽做竖直上抛运动，位移为．由题意得h = h1 - h2，所以，解得时间为= 0.705(s)．算得h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程h = (a + g)t2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．1.9 有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处．已知气流相对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不变．（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为；（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为；（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为．ABABvv + uv - uABvuuvv证：（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0 = 2l/v．（2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u，向西飞行逆风的速率为v - u，所以飞行时间为 ．（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小为，所以飞行时间为 ． 证毕．v1hlv2θ图1.101.10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？解：雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作矢量三角形．根据题意得tanα = l/h．方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得v1hlv2θv3ααv⊥v1 = v2sinθ + v3sinα，其中v3 = v⊥/cosα，而v⊥ = v2cosθ，因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα，即 ． 证毕．方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得，所以，即 ．方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，雨滴的位移为l = (v1 – v2sinθ)t，h = v2cosθ∙t．两式消去时间t即得所求． 证毕．5。