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1、第一章 行列式1.1 二阶、三阶行列式一、计算下列行列式1、2、3、二、解方程1、解:计算行列式得,因此2、解:计算行列式得,得,因此1.2 n阶行列式定义及性质一、计算下列行列式1、2、3、4、5、 将第2、3、4列乘以-1加到第一列得6、 将第2、3、4行全部加到第1行 将第1行乘以-1加到第2、3、4行二、计算下列行列式1、 第1行加到第2、3行2、 按第1列展开3、 按第4行展开4、 按第1行展开5、 第1列乘以-1加到第2、3、4列 第2列乘以-1加到第3、4列计算下列n阶行列式:1、 按第1列展开2、 将第2、3、n行全部加到第1行 第1行乘以-1加到以下各行3、 范德蒙行列式4、
2、已知,计算 和 .解:将上式设为,此式设为,可直接计算此行列式结果为3,也可按以下方法来做:题目中的原行列式设为由行列式的性质得:则:三、解下列方程1、解:第1行乘以-1加到2、3、4行,得将1、2、3列加到第4列得将第2、3行交换,1、4行交换后得上三角形行列式,因此,因此,2、解:此行列式是范德蒙行列式,得因此,3、解:由行列式的加法则,再相加,此行列式为范德蒙行列式得因此1.4 克莱姆法则一、解线性方程组1、解:,解得2、解:,解得二、求一个二次多项式使得解:设,解得三、已知线性方程组只有零解,求的取值范围解:系数行列式为,因此四、设线性方程组有非零解,则应取何值?若线性方程组的右端变为
3、2,3,2,则为何值时,新的线性方程组有唯一解?解:系数行列式为则当时方程组有非零解;若线性方程组的右端变为2,3,2,则当时方程组有唯一解第二章 矩阵2.1 矩阵定义及其运算一、填空题1、设为三阶方阵,且,则.说明:2、的充分必要条件是.二、选择题1、设都是阶矩阵,则的充分必要条件是( C ).(A) (B) (C) AB=BA (D) 2、设都是阶矩阵,则( C ).(A) (B) (C) (D) 3、设为阶矩阵,若,则等于( C ).(A) (B) (C) (D) 说明:由题意知矩阵与不能交换,因此只有(C)正确4、设都是阶对称矩阵,则下面四个结论中不正确的是( B ).(A) 也是对称
4、矩阵(B) 也是对称矩阵(C)(m为正整数) 也是对称矩阵 (D)也是对称矩阵理由:,因此(B)错误三、设,为二阶单位阵,满足, 求.解:由得,即,两边取行列式得,而,因此四、1、已知,求结果为2、已知,求结果为 3、已知,求,结果为 4、计算,结果为0 5、计算 五、设 证明:当且仅当证:必要性,已知,即,则,得充分性,已知,则,因此2.2 逆矩阵一、填空题1、设为三阶方阵,且,则 4 , 4 ,说明:,2、设为矩阵,为矩阵,则 -8 说明:3、设为矩阵,则是可逆的 充分必要 条件4、已知,且可逆,则=说明:等式两边同时左乘5、为三阶方阵,其伴随阵为,已知,则说明:二、选择题1、若由必能推出
5、其中为同阶方阵,则应满足条件( B )(A) (B) (C) (D)2、设均为阶方阵,则必有( C )(A) (B) (C) (D)三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵.(1),可逆,(2),可逆,2、解矩阵方程:解:,3、利用逆矩阵,解线性方程组解:系数矩阵为,则,则四、设方阵满足方程证明:和都可逆,并求他们的逆矩阵证:因此,和都可逆,且,2.3 初等变换与初等矩阵一、填空题说明:由于,因此二、选择题:1、设为阶可逆矩阵,则( B )(A)若,则;(B)总可以经过初等变换化为;(C).对施行若干次初等变换,当变为时,相应地变为;(D)以上都不对说明:(B)为定理,正确;(A
6、)少条件,若加上矩阵可逆,才能正确;(C)将“初等变换”改为“初等行变换”才正确;2、设,则必有( C )(A) (B) (C) (D)利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、,逆矩阵为:2、,逆矩阵为:3、,逆矩阵为:4、,其中, 将最后1行调整到第1行三、已知,求解:由于,则,由,因此四、已知,求矩阵解法1:由得:,即,此式两边同时左乘,再右乘,得 (1)再由得:,即,两边同时右乘,得,此式与(1)式结合得:解法2:将变形得,可得,两边加得:,即,则,因此五、已知,其中,求矩阵解:由得:,即因此,由,则,六、设,为三阶可逆矩阵,求解:,则因此,2.5 矩阵的秩一、填空题1、 在秩是的矩阵中,所有的阶
7、子式都 为0 2、设是矩阵,则 3 说明:可逆矩阵与其它矩阵相乘,不改变其它矩阵的秩3、从矩阵中划去一行得到矩阵,则的秩的关系为4、设, 秩,则 -3 说明: 将2、3、4行加到第一行,再从第一行提出公因子 将第1行乘以-1加到以下各行,因此当或时,但时显然,因此5、设, 秩,则 1 说明:二、求下列矩阵的秩1、,2、,3、,三、设,1)求;2)求秩(要讨论)解:则当时,;当时,;当时,四、讨论矩阵的秩解:当且、时,;其它情况,第三章 向量3.1 向量的概念及其运算1、已知,求, 及.结果: 2、已知,满足 ,求.结果:3、设,其中,求结果:4、写出向量的线性组合,其中:(1)(2)结果:1)
8、 2)5、已知向量组,问:向量是否可以由向量线性表示?若可以,写出其表达式;解:设即可得方程组:,用克拉默法则可得:,则向量可以由向量线性表示,3.2 线性相关与线性无关1、判断向量组的线性相关性,并说明原因.1)线性相关包含零向量的向量组都是线性相关的2)线性无关两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例3),因此向量组线性无关4)线性相关5)线性相关向量个数大于向量维数,必线性相关2、填空题1) 设向量组线性相关,则 2 说明:,则2) 设向量组线性无关,则必满足关系式说明:3) 若 维单位向量组可由向量组线性表示,则说明:书72页推论13、选择题1)向量组线性无关的充要条件是(C) 向
9、量组中必有两个向量的分量对应不成比例 向量组中不含零向量 向量组中任意一个向量都不能由其余的个向量线性表示 存在全为零的数,使得2)设其中是任意实数,则(C) 向量组总线性相关 向量组总线性相关 向量组总线性无关 向量组总线性无关4、已知向量组线性无关,证明:(1) 线性无关证明:设即,由线性无关得,即,因此线性无关(2) 线性相关证法1:设即,由线性无关得,当时方程组成立,因此线性相关证法2:由,得线性相关5、已知 ,问:向量能否由向量组唯一线性表示?解:设,即方程组系数行列式,因此可由向量组唯一线性表示,3.3 向量组的秩1、填空题(1)若,则向量组是线性 无关 说明:由知线性无关,线性无
10、关的向量组减少向量个数还是线性无关(2)设向量组的秩为,向量组的秩为,且,则与的关系为2、选择题(1)若向量组是向量组的极大线性无关组,则论断不正确的是( B )可由线性表示可由线性表示可由线性表示可由线性表示(2)设维向量组的秩,则( B ) 向量组线性无关 向量组线性相关 存在一个向量可以由其余向量线性表示 任一向量都不能由其余向量线性表示(3)若和都是向量组的极大线性无关组,则(C) 3、求下列向量组的秩(必须有解题过程)(1)解:由,得向量组的秩为3(2) (要讨论)解:当,时秩为3;当时秩为2;当时秩为1;4、利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用此极大线
11、性无关组线性表示(1)解:为极大线性无关组,且(2),解:为极大线性无关组,5、已知向量组的秩为,1)求2)求向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用此极大线性无关组线性表示解:(1),(2)为极大线性无关组,6、设维单位向量可由维向量组线性表出,证明向量组线性无关证明:由维单位向量可由维向量组线性表出,且维单位向量可由维向量组线性表出,因此这两个向量组等价,由的秩为,因此的秩为,因此线性无关7、设,证明:线性无关证明:设,即则由得:,系数行列式因此线性无关8、设,若各向量组的秩分别为:,证明:向量组的秩为4证明:反证法,假设向量组的秩小于4,由知,线性无关,根据书69页定理5知:可由线性表
12、示,设为,即 (1)再由,得线性相关,再由刚才定理知:可由线性表示,设为,代入(1)得:因此可由线性表示,则线性相关,与矛盾因此向量组的秩为43.4 向量空间1、设问是不是向量空间,为什么?解:是向量空间,不是向量空间(大家自己证明)2、向量在基,下的坐标是说明:设方程,解之即可3、略4、试证:由生成的向量空间就是,并求的一组标准正交基证:由,则线性无关,则为四个三维向量,必线性相关,且可由线性表示,因此,所生成的向量空间为由施密特正交化法:,单位化得:,为空间的一个标准正交基第四章 线性方程组1、填空题1)线性方程组无解,且, 则应满足 4 ; 线性方程组有解,且,则应满足 3 2)设是方阵,线性方程组有非零解的充要条件是说明:由,得3)设元线性方程组有解,若,则的解空间维数为 2 说明:解空间的维数+结果为4)设为四元非齐次线性方程组,是的三个非零解向量,则的通解为说明:由4-31知该方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中应包括一个向量,而是的一个解,因此齐次线性方程组的通解为,再由,以上二式相加除以2知,是的一个特解,因此的通解为5)若既是非齐次线性方程组的解,又是的解,则说明:由是非齐次线性方