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1、浦东新区2020-2021第二学期期中教学质量检测高三数学试卷 2021.04考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分1已知集合，则=_.2已知是实系数一元二次方程的根(为虚数单位），则_.3已知关于的二元一次方程组的增广矩阵为，则_4已知球的主视图的面积为，则该球的体积为_.5若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为_.6已知实数、满足
2、条件，则目标函数的最大值为_.7方程的解集为_.8某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：高一66.577.58高二6789101112高三34.567.5910.51213.5则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于小时的人数为_.9已知、，若曲线上存在两个不同的点满足条件，则的取值范围为_.10将函数的图像向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图像若在上至少含有个零点，则的最小值为_.11已知、均为正实数，且满足，则的取值范围为_.12已知、为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值
3、为_.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13已知实数，则“”是“”的 （ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件14以圆的圆心为焦点的抛物线标准方程为 （ ） （A） （B） （C） （D）15已知函数，若对任意的，都存在，使成立，称是“拟奇函数”下列函数是“拟奇函数”的个数是 （ ）； ； ； （A）1个（B）2个 （C）3个 （D）4个16数列的前项和为，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是 （ ）存在实数，
4、使得为等差数列；存在实数，使得为等比数列；若存在使得，则实数唯一.（A）（B） （C） （D）三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分14分）.本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知圆锥底面圆的半径，直径与直径垂直，母线与底面所成的角为.（1）求圆锥的侧面积；（2）若为母线的中点，求二面角的大小(结果用反三角函数值表示).18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数，（1）设，求函数的值域；（2）在中，角所对应的边为.若，的面积为.求的值.19（本题满
5、分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元（1）求的值；（2）求年利润的最大值（精确到万元），并求此时的年产量（精确到吨）20（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆：的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于不同的两点、.（1）若直线经过，求的周长；（2）若以线段为直径的圆过点，求直线的方程；
6、（3）若，求实数的取值范围21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知无穷实数列，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界变差数列.（1）已知无穷数列的通项公式为，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为，公比为实数的等比数列为有界变差数列，求的取值范围；（3）已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，证明：数列为有界变差数列浦东高三数答案1 2 3 4 5 6 7 8140 9 10 11 12 13-16 B C C A 17解:（1）由母线与底面所成的角为,
7、又因为,所以 所以（2）(法一)由.联结,因为垂直圆所在的平面,圆所在的平面,所以,又因为,所以平面.因为平面,所以,又,所以为二面角的平面角. 在中,所以,所以 (法二)建立空间直角坐标系（略）18解：（1） 所以，函数的值域为（2）由 ， 或 得 若，则， 若，则， 综上，或 19解：（1）当基地产出该中药材40吨时，年成本为万元，利润为 解得；（2）当时，因为对称轴，在上为增函数，所以当时，万元；当时，当且仅当，即时取等号；所以当年产量约为吨时，年利润最大约为万元20解：（1） 则的周长等于（2）当直线斜率不存在时, 直线,此时，符合题意；当直线斜率存在时，设直线,，联立直线与椭圆，有，此时,，即，解得 直线的方程为或；（3）当直线斜率不存在时, 直线， 若，则，此时； 若，则，此时； 当直线斜率存在时，设直线,，又，即，故，又，即，因为，故，显然，由得,综上.21解：（1） 则即可，则为有界数列. 由，知 则即可，则为有界变差数列. （2）则当时，则，显然满足题意. 当时，则，则，若，则，舍去，矛盾. 当时，则为首相为，公比为的等比数列，则若时，则符合题意. 若时，趋向于无穷大，与题意矛盾，舍去. 则的取值范围为.（3）因为和为有界数列，则存在，使得对任意，恒成立，则存在，使得对任意，恒成立，和为单调递增数列的有界数列，则则存在即可，则数列为有界变差数列. 5 / 5
