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1、 圆与二次函数综合题1. 抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B(3，0)，C(0，-3).(1)求二次函数的关系式；(2)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径.2. 如图平面直角坐标系中,C过原点O,交x轴于点A(2,0),交y轴于点B(O,).(1)求点C的坐标.(2)抛物线y=ax2+bx+c过点0,A两点,且顶点在正比例函数y=x的图象上,求抛物线的解析式.（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE
2、，交C于D、E两点，试判断D、E两点是否在（2）中的抛物线上；（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足APB为钝角，求x0的取值范围 3. 如图,已知抛物线的顶点坐标为M（1,4）,且经过点N（2,3）,与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧）,与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式及A、B、C三点的坐标（2）若直线y=kx+b经过C、M两点,且与x轴交于点D,证明四边形CDAN是平行四边形.（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动,请探索,在x轴上方是否存在这样的点P,使以P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.4. 已知:如图
3、,抛物线的图象与x轴分别交于A（-3,0）,B（1,0）两点,与y轴交于点C（0,）,M经过原点O及点A,C,点D是劣弧OA上一动点(D点与A,O不重合).（1）求抛物线的顶点E的坐标;（2）求M的面积;（3）连CD交AO于点F,延长CD至G,使FG=2,试探究,当点D运动到何处时,直线GA与M相切,并请说明理由.5. 在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、E（3，）三点（1）求此抛物线的解析式（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作M的切线l ，且l与x轴的夹角为30，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由
4、.（注意：本题中的结果可保留根号）6. 已知二次函数的图象如图（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若ACB=90，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作D，试判断直线CM与D的位置关系，并说明理由参考答案1、(1)将C(0，-3)代入，得c=-3.将c=-3、B(3，0)代入，得9a+3b-3=0.因为x=1是抛物线的对称轴，所以.将变形后代入得a=1，b=-2.所以二次函数的关系式是.(2)AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点.因为P
5、A=PB，所以点P到B、C两点距离之差就等于|PA-PC|.由于三角形的两边之差小于第三边，所以只有当点P、C、A在一直线上时，|PA-PC|=AC最大.因为C点的坐标为(0，-3)，A点的坐标为(-1，0)，所以直线AC的关系式是y=-3x-3.又对称轴为x=1，所以点P的坐标(1，-6).(3)设M(，y)、N(，y)，所求圆的半径为r，则，因为对称轴为x=1，所以.由、得：.将N(r+1，y)代入关系式，得，整理，得.由于r=y，当y=r0时，解得，(舍去)；当y=r0时，解得，(舍去).所以此圆的半径是或.2. 解:(1)作AHOB于H,设AD与OC的交点为G BC是A的直径 点A为B
6、C的中点 AG、AH分别是BOC的中位线AH=12OC=3AG=12OB=1(三角形的中位线等于第三边的一半)故A点的坐标为(1,3)(2) 抛物线过O、B两点 根据抛物线的对称性,可知抛物线的顶点横坐标为1 抛物线的顶点在直线y=(33)x上 x=1时y=33 抛物线的顶点坐标为(1,33)设所求抛物线为y=ax2+bx+c(a0)将三点坐标代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中得a=33,b=233,c=0故抛物线解析式为y=(33)x2(233)x(3)BC=22+(23)2=4 DEx轴 A(1,3)DE=BC=4 D(-1,3)E(3,3)将x=-1代入抛物线解析式中得y=(33)+
7、(233)=3,故点D在抛物线y=(33)x2(233)x上将x=3代入抛物线解析式得y=3323=3,点E在抛物线y=(33)x2(233)x上(4)当点P在抛物线的OD或BE上时,BPC为钝角X0的取值范围是1X00或2X033.(1) 已知顶点M(1,4),抛物线的开口向下则,y-4=k(x-1)2经过N点,则有,3-4=k(2-1)2=k=-1所以,y=-(x-1)2+4.此即抛物线的解析式令y=0,易得：x1-1=2,即x1=3x2-1=-2,即,x2=-1据题意,A(-1,0),B(3,0)令x=0,则,y=-1+4=3,故,C(0,3)(2) 由(1)的解可知,Yc=Yn,则,C
8、N/AB,|CN|=2将C、M的坐标代入直线方程：y=kx+bb=3,4=k1+3,k=1y=x+3与x轴的交点D（-3,0）,则,|AD|=2线段CN=线段AD,CN/AD.亦即四边形ADCN是平行四边形(3) 设P与CD的切点为G,有PG=PA=PB设P(1,m).由以上计算知道：BD=6,CDB=45PG所在直线方程的斜率k=-1,P在直线PG上,则有y=-x+m+1与y=x+3的交点即Gx=(m-2)/2,y=(m+4)/2.即G(m-2)/2,(m+4)/2据PG=PA,有PG2=m2+4=(4-m)2/4+(m-4)2/42m2+8=m2-8m+16m=26-4,m=-4-26(1
9、,26-4),和（1,-4-26）即为所求P的圆心坐标4. 1)抛物线y=33x2233x+3=33(x2+2x+1)+3+33=33(x+1)2+433E的坐标为(1,433)；(2)连AC；M过A,O,C,AOC=90，AC为O的直径。而|OA|=3,OC=3r=AC2=3.SM=r2=3；(3)当点D运动到OA的中点时，直线GA与M相切。理由：在RtACO中,|OA|=3,OC=3，tanACO=33=3.ACO=60,CAO=30.点D是OA的中点，AD=DO.ACG=DCO=30.OF=OCtan30=1,CFO=60.在GAF中,AF=2,FG=2,AFG=CFO=60，AGF为等
10、边三角形。GAF=60.CAG=GAF+CAO=90.又AC为直径，当D为OA的中点时，GA为M的切线。5.（1）设抛物线的解析式为：由题意得： 1分解得：2分抛物线的解析式为：1分（2）存在抛物线的顶点坐标是，作抛物线和M（如图），设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与M相切于点C连接MC，过C作CD x 轴于D = 2, CBM = 30, CMBCBCM = 90 ，BMC = 60 ，BM = 2CM = 4 ,B (-2, 0)在RtCDM中，DCM = CDM - CMD = 30DM = 1, CD = C (1,)设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得：解得：切线BC的解析式为：点P为抛物线与切线的交点由解得：点P的坐标为：，4分 抛物线的对称轴是直线此抛物线、M都与直线成轴对称图形于是作切线 l 关于直线的对称直线 l(如图)得到B、C关于直线的对称点B1、C1l满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点：，即为所求的点. 4分
