考虑年龄结构的人口模型（Leslie模型）对Logistic模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法 是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关不同年龄的个体具有 不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic模型中反映出来基于这一事实， Leslie在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型由于男、女性人口（或雌、雄性个体）通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可 以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来将女性按年龄划分成 m+1个组，即 0,1,・・・,m组，例如，可5岁（或10岁）一组划分将时间也离散成间隔相同的一个个时段， 即5年（或10年）为一个时段记J时段年龄在，组中的女性人数为N（i,j），b.为i组每一 妇女在一个时段中生育女孩的平均数，P.为i组女性存活一时段到下一时段升入i+1组的人 数所占的比例（即死亡率d=1-P,）同时假设没有人能活到超过m组的年龄实际上可以这 样来理解这一假设，少量活到超过m组的妇女（老寿星）人数可以忽略不计，她们早已超 过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄 结构不产生任何影响，假设b.^ pi不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。
如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没 有过于巨大的变化，§、P.-事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来根据以上假设可以得出以下j+1时段各组人数与j时段各组人数之间的转换关系：fN（0, j +1） = b N（0, j） + b N（0, j） + •- + b N（m, j）0 1 mN （1, j +1） = p N （0, j）N (m, j +1) = p N (m -1, j)N (0, j)N (0, j +1)N (m, j)j+1N (m, j +1)并引入矩阵「bbm00则方程组（4.28）可简写成N 1 = AN矩阵A被称为Leslie矩阵(或射影矩阵)，当矩阵A与按年龄组分布的初始种群向量 No=(N(0,0), N( 1,0)，…，N(m,0))T一经给定时，其后任一时段种群按年龄分布的向量即 可用(4.29)式迭代求得N, = AN, = . • . = Aj+i N人口(或种群)的增长是否合理不仅仅取决于人口的总量是否过多或过少，还取决于 整个的年龄结构是否合理即各年龄段人口数的比例是否恰当通过对Leslie矩阵A的研究， 可以得到许多十分有用的信息。
女性有一定的生育期，例如k组以后的女性不再生育，则有『0，bk+1，…，bm均为 零(初始若干个b,.也可能为零)，此时A可简记为f A 0 )1豚2心其中A1和A2分别为k+1阶和m-k阶方阵，于是Aj =f A1j 0 jIf (A ,A ,A ) Aj j ' 1 2 3 3 /因为a3是一个下三角阵且对角元素全为零，由高等代数中的哈密顿一凯莱定理，当j > m - k时必有Aj = 0,此时A・的最后m-k列均为零向量其实际意义为r=0时已超过 3育龄的女性，其目前的存在对若干年后的人口分布已毫无影响，她对人口发展的贡献将由她 在此前所生育的女孩来完成，这一点当然是十分显然的°fA]A2A3)为某一用A]、A2、A3表 达的表示式，A•的这一子块较为复杂，并直接反映出k+1组以后各组的年龄结构，对它的讨 论可以导出避免社会老龄化的条件现在，我们来研究一下Leslie矩阵，并进而研究时间充分长后种群的年龄结构及数量上 的趋势容易看出A1是非奇异的，因为A I = (-1)k-2 p p p b 01 0 1 k -1 k0p -11,・・-b—1-p1bk00,・・一 bk-^Pk-1bk」事实上，不难直接验证:0 p 010 0A-1 = 11 - b一 ——0 b p b由Aj的分块结构可知，对A,及N.、的前k+1个分量N (k+i), N (k+i) = AN (k+i)也成立。
1 j+1 j j+1 1 j为叙述方便，不妨仍记N尸 为Nj,并记A1为A,简略讨论一下前k+1组人口数量的变化 情况由于人口生育率和死亡率与年龄之间存在着固定的关系，可以预料，经过足够多年后， 人口年龄分布应趋于稳定的比率，即下时段初与本时段初同组人数应当近似地对应或比率， 且各组人数在总人口数中所占的比例应逐渐趋于稳定现在我们来指出Leslie矩阵的一些性 质，并证明这些预料是正确的定理4.2 Leslie矩阵具有唯一的正特征根入]，与之相应的特征向量为N = (kk /(P P ),Xk-1 /(P P •./ ),…,人 /P ,1)r1 0 1 k-1 1 0 1 k-1 1 k-1证直接计算可得A的特征多项式为f (k) = kk+1 — b kk — Pb kk-1 (P P — P )b (4 1)0 0 1 0 1 k-1 kf (k) = 0等价于_p pb -工 pp …p b 1+ ―0_+ + ―0_1 k -1 k = 1k kk -1当k由0+T+8时，f1(k )由+ 8单调下降地趋于零，由此立即可以看出A具有唯一的正特征根k1，(气被称为种群的固有增长率，其计算法有许多文献介绍)。
现求Ab0p 00，解线性方程组AN = k ]N，即(4.2)(4.2 )式中只有k个独立方程，但有k+1个未知量，取nk = 1，可求得1 k-1kk /(p p p )kk /(p …p )1 ' ''(4.3)k / p1 k-11不难看出，当且仅当当1 = 1时，lim N = N，人口总量将趋于定且各年龄人数在总人j T+8口数中所占的比例也将趋于一个定值在人固定的情况下，N只和p有关（，=0,・・*1）p为z•组人的存活率，人们总希望 1 z z它们越大越好，但由于医疗条件和医学水平的限止，在一定时期内，它们基本上是一些常 数，这样，事实上人们只能通过控制b.的值（即实行计划生育）来保证人］=1，从而使人 口数趋于稳定如能实现这一目标，各年龄组人数之比将无法更改地趋于一个稳定的比例（除 非pz的值改变）如果将Leslie模型用于家禽或家畜预测，情况就有了较大的不同，人们不仅可以控制各 年龄段的繁殖率bz，还可以通过宰杀来控制各年龄段的存活率p.o从而，人们不仅可以控制 该种群的总量，还能人为地调整各年龄段种群的比例，使之达到更为理想的状态在定理4.2中，我们证明了七是Leslie矩阵A的唯一正特征根。
实际上，我们还可以进 一步证明七必定是A的特征方程的单根，而A的基余n-1个特征根七（• = 2, ,n）均满足|人.1〈人］，Z=2,…,n （4.4）定理4.3若Leslie矩阵A的第一行中至少有两个相邻的b.>0，则（4.4）中严格不等式 成立，即|人.|<|人］|，.=2,…,n且lim LcN，其中C为某一常数，其值由b、p.及No决定jT+8 人 1定理4.3的条件通常总能满足，故在j充分 大时有七=C jN，即各年龄组人口的比 例总会趋于稳定，且N冷 八尸.若入］>1，种群量增大；七<1，种群量减少综上所述， 只要先求出A的正特征根入］及其对应的特征向量N，确定出C的值，依据调查所得的人 口初值即可大致了解人口发展的总趋势考察（4.1）中的f1（九），记R = f1（1） = b0 + p0b］+…+（p0…pk1）bk易见R即女性一生 所生女孩的平均值由于九（入）的单调性又有定理4.4人1=1的充要条件为R =1注：证明非常简单）由于并非每一妇女均能活到足够的年龄并生下R个女孩，为了保障人口平衡，每一妇 女可生子女数可定为某一略大于2的数B （这里假设男女之比为1： 1），B称为临界生育率。
根据统计资料计算的结果，中国妇女的临界生育率约为2.2左右人口迅猛发展使人们日益清醒地意识到，人类必须控制自身的发展，正因为如此，近几 十年来人们开始用现代控制理论的观点和方法来研究人口问题，建立了人口发展的控制模 型，在这方面，我国一些控制论专家已经做了许多开拓性的工作大多数控制论模型都是以偏微分方程形式给出的，由于连续型控制论模型的求解十分 困难，也可将其转换成近似的离散型模型，以便较容易利用数值方法来求解在控制论中，q•被称为状态变量要建立模型，还必然定出控制变量显然，随着人民 生活水平的不断提高和医疗卫生条件的不断改善，各年龄组人口的死亡率不断下降、存活率 不断提高要实现对人口增长的控制只能采取降低人口出生率的办法记j时段z•年龄组中女性所占的百分比为K.(j)并设*・侦2为育龄女性的年龄组，则j时 段新生儿总数为N(0, j +1)=玄气(j) K (j)N(i, j)i=i1N(i, j +1) = pi 1N(i -1, j), i = 1,…,m从长远来看，人口的年龄结构总会趋于逐渐稳定，但这一过程是十分漫长的由于初始 状态的影响，人口年龄结构很可能会长期振荡例如，目前我国人口中年青人占的比例很大 (约占60%)，加上计划生育降低出生率，必然造成若干年后社会人口的严重老化，造成社 会负担过重等一系列不得不引起人们注意的社会问题。
待这一代人越出m组后，又会使人 口迅速年青化而走向另一极端为了尽可能减小这种年龄结构上的振荡，建立人口问题的控 制论模型并进而制定人口政策时，人们又引入了一个控制变量h(i,j)，使得bi(j)= B h(i,j)且 虫 h(i, j) = 1i=i1h(ij)称为女性生育模式，用来调整育龄妇女在不同年龄组内生育的高低例如，为简单 起见，可通过控制结婚年龄和生育两胎间的年龄差来接近h(ij)的理想值于是，Leslie模型 可作如下形式上的改变j+1其中0 …P 0( j)A( j) = 0:_ 0 …「0…00 B (j) = .:0 N = [ A( j) + B (j)] Nj, •… •… 0…0 p 1( j) 0b (j)…b； (j) 0b'( j) = P (j)h(i, j)K (j)在一定时期内，p(j), (j = 0,…,m -1), P (j) , h(i,j)和K.(j)可视为与j无关的常数(例 如h(ij)的改变即更改女性生育模式，意味着人口控制政策的更改)，从而在这一时期内A(j). g(j)可取常数矩阵A、B控制论模型常采取一些评价函数来评判控制模型的效果，对于人口模型，可类似连续型 模型，引入以下一些人口指数：(1)人口总量不妨以N(j)记j时段的人口总量，N(j) = ^Ln(j, j)。
i =0(2)平均年龄y(j) =，产 iN(i, j)N ( j)I=0(3)平均寿命Q( j) = £ exp[ —£(1 - Pj (j))]，其中(1 - p.(j))为 j 时段 i 组人 t=0 i=0的死亡率4)社会人口老龄化指数o (j) = y(j)/Q(j)⑸依赖性指数设与〈，…，/；分别为男性与女性中具有劳动能力的年龄组，则j时段具有劳动能力的人口数L( j)=£[1-k (j)]N(j, j) + £ K (j)N(i,。