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1、第六章 弯曲变形分析梁是机械与工程结构中最常见的构件。本章内容包括梁的内力、平面弯曲中横截面上的正应力和切应力分布规律，以及梁的变形计算。6.1 梁的内力 梁的概念图63 梁的约束 图64 三类静定梁当杆件受到矢量方向垂直于轴线的外力或外力偶作用时，其轴线将由直线变为曲线，如图61(a)。以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲，凡是以弯曲变形为主的杆件，工程上称为梁，如车辆的轮轴、房屋的梁及桥梁等。在分析计算中，通常用梁的轴线代表梁，如图61(b)。图61 梁 图62 对称弯曲在工程实际中，大多数梁都具有一个纵向对称面；而外力也作用在该对称面内。在这种情况下，梁的变形对称于纵向对称面，且变形后
2、的轴线也在对称面内，即所谓的对称弯曲，如图62。它是弯曲问题中最基本、最常见的情况。本章只讨论梁的对称弯曲。图63表示了梁的三种常见约束形式及相应的约束力：可动铰支座(图63(a)，固定铰支座(图63(b)和(平面)固定端约束(图63(c)。在以上三种约束方式下，有三种常见的梁形式，如图64所示。图64(a)为简支梁，两端分别为固定铰支座和活动铰支座；图64(b)为悬臂梁，一端固定端约束，一端自由；图64(b)为外伸梁，它是具有一个或两个外伸部分的简支梁。这三种梁都是静定梁。图65 梁的外载荷作用在梁上的外载荷，常见的有集中力偶(图65(a)、分布载荷(图65(b)和集中力(图65(c)。在实
3、际问题中，为常数的均布载荷较为常见。 梁的剪力与弯矩在4.2中已经介绍了求杆件内力的通用方法，即截面法。具体到梁，其内力分量为剪力和弯矩，规定当剪力相对于横截面的转向为顺时针为正，使杆件发生上凹下凸的弯矩为正，如图45(b)和(c)。例61：如图66所示悬臂梁，受均布载荷，在点处受矩为的力偶作用，试绘梁的剪力图与弯矩图。图66 例61图解：设固定端的约束力和约束力偶为和，则由平衡方程，以杆件左端为坐标原点，以为分界面，将梁分为和两段。对段中的截面，剪力方程和弯矩方程分别为同样，可得到段中的剪力方程和弯矩方程根据得到的剪力方程和弯矩方程，绘出相应的剪力图和弯矩图，如图66(b)和(c)。再次看到
4、，在处作用有集中力偶，所以弯矩图在点有突变，突变值正好等于集中力偶值。 剪力、弯矩和载荷集度的微分关系图67 剪力、弯矩与载荷集中度的微分关系现研究剪力、弯矩和分布载荷集度之间的微分关系。首先讨论梁上无集中载荷的情况。如图67(a)所示梁，受分布载荷作用。规定轴水平向由，分布载荷向上为正。为研究剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，用坐标分别为与的横截面从梁中切取一段来进行分析，如图67(b)。微段左右截面上的剪力和弯矩分别为、和、，它们和微段上的分布载荷一起组成平衡力系，竖直方向的平衡方程为 (61)式(61)就是剪力和分布载荷之间的微分关系。对右截面形心取矩，略去高阶无穷小后，得 (62)式(62
5、)是弯矩和剪力之间的微分关系。将式(61)带入式(62)，得到弯矩和分布载荷之间的微分关系 (63)图68 集中载荷的影响 图69 例62图现讨论微段上作用有集中载荷的情况，如图68所示。容易证明，在集中力作用处，左右两侧的弯矩相同，而剪力则发生突变，其突变量等于(图68(a)，且弯矩图出现尖点；在集中力偶作用处，其左右两侧的剪力相同，而弯矩发生突变，其突变量等于，(图68(b)。利用剪力、弯矩和分布载荷之间的微分关系，可以对剪力图和弯矩图的形态作直观的判断。具体说；1.、和的函数阶次依次升高一阶；的箭头“顶”在的凸出一侧；2.在的截面上，取极值；3.对只有集中载荷作用的梁，其剪力图和弯矩图一
6、定是由分段直线构成的。例62：外伸梁承受载荷如图69(a)所示，试作出梁的剪力图和弯矩图。解：由平衡方程和，求得、处的约束力分别为将整个梁分为、和三段。先讨论剪力图。段无外载荷，因此剪力为常值；和都受均布载荷作用，剪力图为斜直线，但因为处的集中约束力，因此剪力图发生突变。由截面法可计算出、和处的剪力依次为据此绘出剪力图69(b)。注意到在点和点剪力为零，此处弯矩取极值。对弯矩图，依据剪力和弯矩微分关系，段弯矩图为斜直线，段和段为抛物线，其极值点分别为和。在点出弯矩图有突变。同样由截面法计算各关键截面处的弯矩图由此绘出弯矩图69(c)。6.2 弯曲时横截面上的正应力图610 横截面上的正应力和切
7、应力 图611 纯弯曲在一般情况下，梁的横截面上存在着正应力和切应力。正应力向横截面形心简化将产生弯矩，而切应力的简化结果产生剪力，如图610。若梁内各横截面的剪力为零而弯矩为常量，即为纯弯曲状态，如图611中的段。这时，梁的横截面上只存在正应力。现在讨论梁在对称纯弯曲时横截面上正应力。 弯曲试验和变形特点和前面研究拉(压)杆及轴的方法一样，要解决梁横截面上的应力分布，首先应该了解梁弯曲变形的特征，并作出合理的简化。图612 弯曲变形试验如图612(a)，取一根对称截面梁，在其表面画上纵线和横线。然后，在梁两端的纵向对称面内一对外力偶，使梁处于纯弯曲状态。从试验中观察到：1.横线仍保持直且仍与
8、纵线正交，只是横线间作相对转动；2.纵线变为曲线，上面的纵线缩短，下面的纵线伸长。根据上述现象，对梁内变形作如下假设：1.平面假设：变形后，横截面仍保持平面且仍与轴线正交，只是横截面间作相对转动；2.单向受力假设：各纵向“纤维” 之间无挤压或拉伸作用。图613 弯曲变形分析根据平面假设，梁变形后横截面上没有切应变，也就没有切应力。梁上部“纤维”受压；下部“纤维”受拉，由变形的连续性可知，其间必有一层纵向“纤维”的长度不变，即中性层。显然，中性层的曲率与弯矩和横截面性质有关，对处于纯弯曲状态的等直梁，中性层上的纵向线段变成圆弧。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图613(a)。通常，取梁横截面的
9、对称轴为轴，中性轴为轴，梁轴线为轴，三者构成右手坐标系，如图613(b)所示。概括地说，在纯弯曲条件下，所有横截面仍保持平面，只是绕中性轴作相对转动，而纵向“纤维”则均处于单向受力状态。 对称弯曲正应力一般公式在对弯曲变形作出合理的简化后，即可通过对变形、物理和静力学三方面的综合分析，建立弯曲正应力公式。如图613(c)，在梁中切取长为的微段。设变形后中性层上纵向线段的曲率半径为，微段两端横截面的相对转角为。因此，微段上任一纵向线段的原长为；距中性层为的任一纵向线段变形后长度为。由此可得线段的纵向应变为上式表明，横截面上各点正应变与其距中性层的距离成正比。负号表示在正弯矩作用下，中性层以上()
10、纵向线段缩短()。由于假设各纵向“纤维”处于单向受力状态，因此，当正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可得出横截面上正应力的分布规律为 (64)图614 弯曲正应力 图615 弯曲正应力的简化式(64)表明，横截面上正应力沿截面高度按线性规律变化，沿梁宽度均匀分布，而中性轴上各点处的正应力均为零，如图614。目前为止，尚不能应用式(64)求横截面上的正应力，因为中性轴的位置和中性层曲率半径均为未知。为求此二未知量，还需利用应力和内力间的静力学关系。如图615，横截面上正应力的合力形成轴力，由于轴力为零积分为横截面关于轴的静矩。上式表明横截面对中性轴的静矩等于零，即中性轴通过截面的形心，由此
11、确定出中性轴的位置。所有正应力对轴矩之和即为横截面上的弯矩，即积分为横截面关于轴的惯性矩。于是 (65)式(65)为以曲率表示的弯曲变形公式。是梁变形后的曲率，它与成反比。称为梁的截面抗弯刚度，简称抗弯刚度。将式(65)代入式(64)，即得横截面上任一点处的正应力计算公式 (66)式(66)表明，横截面上的最大拉、压应力分别发生在离中性轴的最远处。以表示最远处到中性轴的距离，则 (67)比值称为抗弯截面模量。式(66)是矩形截面梁在纯弯曲的情况下建立的。当横截面上有剪力时，由于存在切应力，其横截面将发生翘曲；同时梁上横向力的作用，还会引起纵向“纤维”的侧向挤压。但精确弹性理论分析表明，应用式(
12、66)计算非矩形截面的细长梁在非纯弯曲下的弯曲正应力，结果仍具有足够的精确度。因此也将式(66)称为弯曲正应力的一般公式。 截面的静矩和惯性矩与截面的面积、极惯性矩一样，静矩和惯性矩也只与截面的形状与尺寸有关。这些与截面形状与尺寸有关的几何量，统称为截面的几何性质。图616 截面的静矩 图617 截面的惯性矩如图616，任意截面的面积为，在任一坐标系内，定义截面对轴和轴的静矩 (67)由上述定义可看出，同一截面在不同坐标系下的静矩可正可负，亦可为零，其量纲为长度的三次方。截面形心的位置坐标按下式确定 (68)比较式(68)和(123b)可知，均质等厚薄板的重心与该板平面的形心重合。因此，可用求
13、重心的方法来求截面的形心。若某坐标轴通过截面之形心，则称该轴为截面的形心轴。根据式(68)，截面对形心轴之静矩为零；反之亦然。此外，若某一轴为截面的对称轴，则该轴为截面的形心轴。如图617，定义截面对轴和轴的惯性矩 (69)截面的惯性矩恒为正，其量纲为长度的四次方。不难计算，图618(a)中的矩形截面关于对称轴和的惯性矩分别为 (610) (a) (b) (c)图618 简单截面的惯性矩而图618(b)中直径为的圆截面关于任意圆心轴惯性矩为 (611)对图618(c)中外径为、内外径之比为的圆环形截面，有 (612)平行移轴定理反映了截面对一组平行轴的惯性矩的定量关系。设截面面积为，轴为形心轴，轴与轴平行，为两轴之距离，截面关于两轴的惯性矩分别为和。根据平行移轴定理，知， (613)即在一组平行轴中，截面对形心轴的惯性矩为最小值。在工程中经常会遇到一些形状复杂的截面，这些截面通常可看成是由若干简单截面所组成的。对于这种组合截面，根据静矩和惯性矩的定义，组合截面对某一轴的静矩(或惯性矩)应等
