第 6 章 直流电路的暂态分析6.1 暂态过程概念与换路定则6.1.1 暂态过程概念 人的身高是由一日三餐的能量逐渐累积起来的人 的身高不能突然改变设人到 18 岁身高停止生长,那么人身高参数在 0 到18岁之间就是暂态过程，而在 18岁以后进入稳态过程 还有，像“地冻三尺非一日之寒”也说明地冻三尺是由于热量即热能逐渐散失 电感、电容也能储存能量电感磁场能量为=1Li电容电场能量为W- = — Cu 2C 2凡是能量或与能量直接相关的量的改变都有一个 渐进过程这种能量逐渐变化的过程就叫做暂态过程能量本身其实并不太容易测量热能、磁场能和电 场能都不太容易直接测量但是与热能直接相关的身 高、冻土层深度、与磁场能直接相关的电流、与电场能 直接相关的电压就比较容易测量因此，通常用电流衡量电感中存贮的磁场能量的变 化，用电压衡量电容中存贮的电场能的变化凡是电路中有电感或电容这样的储能元件存在时， 电路开或关以后，即开关状态变化后，就有一个暂态过 程暂态过程的研究有三个基本问题： 一是从什么起点(初始值)开始过渡； 二是如何过渡，即以什么规律或曲线过渡； 三是过渡到何时就达到稳态6.1.2 换路定则换路定则就是根据能量不能突变确定暂态过程的 初始值的法则。
设开关动作时间为t=0,动作前的那一瞬间为t=0-, 动作后的那一瞬间为t=0+，动作前稳态能量为w(0-), 动作后的那一瞬间的能量为w(0+),根据能量不能突变 原理有w(0+)=w(0-)这样已知 w(0-), 就可以确定 w(0+), 这就是换路定 则.根据换路定则可以找到开关动作后那一瞬间的能量 即暂态过程的起始点具体有电感换路定则: i (0+)=i (0-)LL电容换路定则: uC(0+)=uC(0-)6.2 用微分方程分析 RC 电路的响应6.2.1 RC 电路的零输入响应零输入，就是切断电源，就是没有电源输入，依靠 电容上已经存有的电荷放电，形成暂态过程例 6-1 试分析图 6-1 中开关动作后的暂态过程uC(0-)=E根据换路定则 uC(0+)=uC(0-)=E设暂态过程开始后电容电压为 uC ，则电流为i = Cdu^，开关合上后电路平衡方程为 C ITRCdu C + uC=0C50卩这是一阶线性微分方程，其解的形式为tu = Ue RCC其中 U 为待定系数 令 t=0 得U = u (0+) = E=12VC 于是暂态方程tuC = 12e RC V其中乘积 RC 量纲应为时间单位。
当电阻单位为欧 姆，电容单位为法拉时，p = RC单位为秒tuC = 12「p V理论上，电容电压uC(t)无论如何也放不完实际上， 一般认为用(3~5) p 时间就是基本放完了表 6.1 电容放电电压与时间的关系t / p012345uC (t)/E = e-1/pV-10.3680.1350.050.0180.007例如，对于 R=20ka , C=50卩F，p = RC = ls，一般认为开关闭合后经过 3~5s 电容上的电荷基本放完把p = 1s，U=12V代入到上式有， uc(t) = 12e -tV要注意，将指数函数中的时间常数 p 换为具体数值 时，必须以秒为单位6.2.2 RC 电路的零状态响应 零状态响应，就是从零值开始的暂态过程SR+图 6-3 RC 电路的零状态响应(自零开始充电) 例 6-2 试分析图 6-2 中开关合上后的暂态过程 uC(0-)=0 根据换路定则 uC(0+)=uC(0-)=0 设暂态过程开始后电容电压为 uC ，则电流为i =c也，开关合上后电路平衡方程为 c ITduRC _C + u = EIT c 这是一阶线性微分方程，其解由特解『和补函数u"CC 组成，特解『与方程等号右边函数项成正比C uf =EC 补函数u"C tu" = Ue RCCtu = u' + u" = E + Ue RC CCC令 t=0 得E+U = u (0+) = 0C于是 U=-E 暂态方程tu = E(1 — e t )Ctu = Ee tC图 6-4 电容从零开始充电的负指数曲线理论上，电容电压uC(t)无论如何也充不到电源电压 U。
实际上，一般认为用(3〜5)t时间就基本充满了表 6.2 电容充电电压与时间的关系t / t12345uC(t)/E = 1 - e-t/t0.6320.8650.9500.9820.993例如，对于 R=1k C=1 卩F， t = RC = 10 3 x 10 -6s = 1ms , 一般认为开关闭合后经过 3〜5ms 电容基本充满把t = 1ms，U=12V代入到上式有，u C (t) = 12(1- e -1000 t )V C6.3 用三要素法分析一阶电路暂态过程6.3.1 一阶电路概念 暂态过程可以用微分方程描述如果描述暂态过程 的微分方程是一阶的，这种电路就是一阶电路电路中肯定有电阻，然后根据有无电感、电容分为 一阶电路和二阶电路电路中除了电阻外，只有电容，没有电感，是一阶 电路；电路中除了电阻外，只有电感，没有电容，也是一 阶电路电路中除了电阻外，既有电容，又有电感，是二阶 电路，不是现在研究的对象一阶电路暂态过程按照衰减的负指数曲线变化6.3.2 三要素法1. 一阶电路暂态过程万能表达式衰减的负指数曲线方程的主因子为 e -1/T ,或写为exp (— t/t)一阶电路暂态过程函数可表达为口少)=M + Ne -1/t其中 M、N 为待定系数。
令t - 0、t T8可获得方程组'M + N = uC(0 +)1M = uC(g)其解为-M = u C (g)
图 6-8 所示 RC 电路中含有两个电阻，虽然可以根 据电阻分压原理确定初始值和稳态值，但是电路时间常 数的计算有一定难度那就是，是按照 R1 计算时间常数，还是按照 R2 计 算时间常数，还是按照比与R2的并联或串联电阻计算 时间常数？8VRWV2kb）等效电路图 6-8 双电阻充电的 RC 电路研究电容充电，可以把电容看作为负载，然后用代 文宁法将电路其余部分等效为一个简单电源简单等效电源的内阻显然是R1与R2的并联电阻R=R1//R2=3//6=2k简单等效电源电动势为R2 6E = 2 e 二 x 12V = 8VR] + R2 1 3 + 6然后可以用三要素法，按照以前讲过的简单 RC 充 电电路进行分析uC(0-)=0uC(0+)= uC(0-)=0u (g) = E =8VCt = RC = 2 x 10 3 x 10 —6 s = 2 x 10 —3 s = 2ms uC(t) = 8 + (0 - 8)e -t/2 x10 - 3Vu C (t) = 8(1 - e -500 t )V要注意，同样一个电路，放电与充电时参与的电阻 数目不一定一样例如，图 6-8 所示 RC 电路，充电时 R1、R2 都参与， 放电时仅有 R2 参与。
就是说，图 6-7 所示 RC 电路一方 面是双电阻 RC 充电电路，另一方面又是单电阻 RC 放 电电路EV_R9V E[ ( ) 6V1b)等效电路2．双电阻 RC 电路放电R1 w?乎s3kt =9Vya)实际电路图 6-9 双电阻 RC 电路不完全放电图 6-9 的两个电阻在开关闭合引起的暂态过程中都 起作用，但在开关断开引起的暂态过程中有关的只有一 个电阻 R1E「12Vt = 0 3k+C1p图 6-10 双电阻充电单电阻放电的 RC 电路图 6-10 的两个电阻在开关闭合引起的暂态过程中 都起作用，但在开关断开引起的暂态过程中有关的只有 一个电阻 R 2SR开关无论如何动作，图 6-11的两个电阻都与暂态过程有关，但在开关闭合时的时间常数计算与断开时的时间常数计算不同，开关闭合时时间常数计算中两电阻并 联，开关断开时时间常数计算中两电阻串联总之，某个电阻在暂态过程中是否起作用，如何起作用，要结合实际电路和开关动作进行具体分析，不能 一概而论3．三电阻 RC 电路充电S。