有理数的乘方及混合运算(提高)【学习目标】1. 理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方 指数定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power). 」罕即有：a a…a = an.在an中，a叫做底数，n叫做指数. 二J —〃个 广帮.一 底数V V '要点诠释：(1) 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果.(2) 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来.(3) 一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5就是51，指数1通常省略不写.要点二、乘方运算的符号法则(1) 正数的任何次幂都是正数；(2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；(3)0的任何正整数次幂都是0； (4)任何一个数的偶次幂都是非负数，即^乏要点诠释：(1) 有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计 算幂的绝对值.(2) 任何数的偶次幂都是非负数.【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849有理数的混合运算】要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释：(1) 有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二 级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；(2) 在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的 顺序进行.(3) 在运算过程中注意运算律的运用.【典型例题】类型一、有理数的乘方1.计算：(1 ) 34 ； — 34； (- 3)4; —(-3)4⑵ | ；(|)3；(-|)3； (-2)3【答案与解析】由乘方的定义可得：(1)3 4=3X3X3X3 = 81；-3 4=- (3X3X3X3)=-81；(—3)4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81 ；-(-3)4 = -[(-3) x (-3) x (-3) x (-3)] = -8123 2 x 2 x 2 8②"―一3)x(3)x (2)=27=(-3) x(-2)3 _ (-2) x (-2) x (-2) _ -8 _ 8 _ _ _ —3 3 3 3【总结升华】注意(-a)n与-an的意义的区别.(-a)2n = a2(n为正整数)，(一。
)2"1 = -a2n+1(n为正整数).举一反三：【变式1】比较(-5)3与-53的异同.【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)X(-5)X(-5)=-125，而-53表示5的3次方的相 反数，即-53 = -(5X5X5) .因此，它们的底数不同，表示的意义不同.【变式2】(2015杭州模拟)若n为正整数，(-1) 2n=( )A. 1 B. - 1 C. 2n D.不确定【答案】A.因为n为正整数，2n 一定是偶数，所以(-1) 2n=1.类型二、乘方运算的符号法则2.不做运算，判断下列各运算结果的符号. (5 )5(-2)7， (-3) 24， (-1.0009) 2009， — ， -(-2) 2010k 3 )【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得：, 、、一心“口由口， , 、、一心“口由十 , 、、一心“口由口， (5 )5(-2)7运算的结果是负；(-3) 24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；-k 3 )运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负.【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不 为。
时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数， 结果为负.举一反三:【变式】当n为奇数时，1〃 +(-1》(-1> +(-*4— 4【答案】0类型三、有理数的混合运算(4)(1 1 3 \+ 11 — + 2- — 13— x 24 -"4 3 4)1(-0.2》(1:3 1(22 "—+ —x————2V2 )2V 33 )3.计算：(1) -(-3)2+(-2)3：[(-3)-(-5)](2) [73-6X (-7)2-(-1) 10] : (-214-24+214)(3)【答案与解析】(1)-(-3)2+(-2)3：[(-3)-(-5)] =-9+(-8)：(-3+5) = -9+(-8)： 2 =-9+ (-4) =-13(2) [73-6X (-7)2-(-1) 10] ： (-214-24+214) =(7X72-6X72-1) ： (-214+214-24) = [72X(7-6)T]7(-24)=(49-1) ： (-24) =-2(3) 有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算、 1 1 「2 小 2、「 1 1 11原式=——+ — x [— — (2 ——)]=————=— -8 2 3 3 8 3 241(-0.2 )(4) 将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算(1 1 3 \+ 11— + 2- — 13— x 24 —"4 3 4)1 / 5、 45 7 55、v=—+ (— —) + ( + — — —) x 24 —16 2 4 3 41 2 5 7 ,—x — — 一x 24 + — x 24 +125 16 5 2 31 39—60 + 56 +125 = 120 —40 40【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提.举一反三：【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849 典型例题1】【变式】计算：(1) 1—[1—0.5xT| x「2—(―3)2_ k 3刀L 」(2) -14 - — X 2-(-3)36 L 」(3) (11 + 1-2. 75)x(-24) + (-1)20H -1-2p(4)3 8 — +1—2 3 — 31(-0.1)3 (-0.2)2 1 1【答案】(1)原式1_5L(_7)= 1X(_7)=_I6) 6 6或原式二(1-1+—xl) (2-9) = .1x(-7)=2 3 6 6(2) 原式=T_ 项「2-(-27)] =-1-项9 —6 L 」 6 64 111 _(3) 原式)X(-24)-1- 8 一-32-3+66-9=223 8 4(4) 原式=—-—-一-—+1-8 - 31-0. 001 0. 04= -1000-25+11 =-10144. 计算：(-2)2011 + 22012【答案与解析】逆用分配律可得：(—2)2011 + 22012 = —22011 + 22012 = 22011 (―1 + 2) = 1 • 22011 = 22011【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有22”+i -22” = 2膈;2膈-22”-1= 221举一反三：【变式 11 计算：220 — 219 — 218 — 217 — 216 — ... — 24 — 23 — 22 — 2【答案】原式=219 — 218 — 217 — 216 — ... — 24 — 23 — 22 — 2 = 218 — 217 — 216 — ... — 24 — 23 — 22 — 2=...=22—2 = 2【变式2】计算：(―j)7X(—：)73 4 3 4[答案】(--)7 x(-t)7 = [(-T)x(-=14 3 4 3类型四、探索规律(JF5. (2015*滕州市校级二模)求 1+2+22+23+...+22013 的值，可令 s=1+2+22+23+...+22013, 则2S=2+22+23+...+22014，因此2S - S=22014 - 1.仿照以上推理，计算出 1+5+52+53+...+52014=.I/。
比一1[答案]堂二一解：设 S=1+5+52+53+...+52014，则 5S=5+52+53+...+52015，5S-S= (5+52+53+...+52015)-(1+5+52+53+...+52014) =52015 - 1，|副5 -1所以，S 一.【总结升华】根据题目信息，设S=1+5+52+53+...+52014，表示出5S=5+52+53+...+52015，然后 相减求出S即可.举一反三：【变式】观察下面三行数：①-3，9，-27，81，-243，729，…②0， 12， -24， 84， -240， 732，…③-1，3，-9，27，-81，243，…(1)第①行数按什么规律排列？(2) 第②③行数与第①行数分别有什么关系？(3) 取每行数的第10个数，计算这三个数的和.【答案】(1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；(2)第②行数是第①行数相应的数加3,即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③ 行数是第①行数相应的数的1，即-3x 1，(-3)2 x 1，(-3)3 x 1，(-3)4 x 1，…；(3)每行数中的第 10 个数的和是：(-3)10 +[(—3)10 + 3] + (-3)10 x 3 = 59049+59052+19683 = 137784.。