第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式教师用书 理 新人教版 1．两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，b∈R)；(2)作商法 (a∈R，b>0)．2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔bb，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性⇒ac>bc注意c的符号⇒acb＋d⇒同向同正可乘性⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b，ab>0⇒<.②a<0b>0,0.④0b>0，m>0，则①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × )(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( × )(5)a>b>0，c>d>0⇒>.( √ )(6)若ab>0，则a>b⇔<.( √ )1．设a B.>C．|a|>－b D.>答案 B解析 由题设得a不成立．2．(教材改编)若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 －>0⇒>⇒a>b⇒a2>b2，但由a2－b2>0⇏－>0.3．若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )A．a－b>0 B．a3＋b3>0C．a2－b2<0 D．a＋b<0答案 D解析 由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，当b≥0时，a＋b<0成立，当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0.故选D.4．如果a∈R，且a2＋a<0，则a，a2，－a，－a2的大小关系是________________．答案 a<－a2－1，∴－a21且2a<1，∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝－22＋<.即a<2ab<，又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝，即a2＋b2>，a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，又2b－1>0，b－1<0，∴a2＋b2－b<0，∴a2＋b2NC．M＝N D．不确定(2)若a＝，b＝，c＝，则( )A．a0，即M－N>0.∴M>N.(2)方法一 易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；＝＝log6251 024>1，所以b>c.即ce时，函数f(x)单调递减．因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即cB(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．答案 (1)B (2)a0,1618>0，∴1816<1618.即aac B．c(b－a)<0C．cb20(2)若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③a0.由b>c得ab>ac一定成立．(2)因为<<0，所以b0，所以a＋b0>b>－a，cbc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析 方法一 ∵a>0>b，c0，∴ad0>b>－a，∴a>－b>0，∵c－d>0，∴a(－c)>(－b)(－d)，∴ac＋bd<0，∴＋＝<0，故②正确．∵c－d，∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，∴a－c>b－d，故③正确．∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)，故④正确，故选C.方法二 取特殊值．题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立例3 已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为( )A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④答案 A解析 方法一 由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴>，∴()2－(－)2＝2－2b＝2(－)>0，∴>－，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．故选A.方法二 令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1 B．a2bn(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①>；②acloga(b－c)．其中所有正确结论的序号是( )A．① B．①②C．②③ D．①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，<⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，∵ab>1知<，又c<0，∴>，①正确；构造函数y＝xc，∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，又a>b>1，∴acb>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．7．利用不等式变形求范围典例 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．错解展示解析 由已知得①＋②得3≤2a≤6，∴6≤4a≤12，又由①可得－2≤－a＋b≤－1，③②＋③得0≤2b≤3，∴－3≤－2b≤0，又f(－2)＝4a－2b，∴3≤4a－2b≤12，∴f(－2)的取值范围是[3,12]．答案 [3,12]现场纠错解析 方法一 由。
