2003考研数四真题及解析

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限= .(2) = .(3) 设， 而表示全平面，则= .(4) 设均为三阶矩阵，是三阶单位矩阵. 已知, ,则= .(5) 设维向量；为阶单位矩阵，矩阵， ，其中的逆矩阵为，则 .(6) 设随机变量 和的相关系数为0.5, 则= .二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 曲线 ( )(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C

2、) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. (2) 设函数，其中在处连续，则是在处可导的 ( )(A) 充分必要条件. (B)必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. (3) 设可微函数在点取得极小值，则下列结论正确的是 ( )(A) 在处的导数等于零. (B)在处的导数大于零.(C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在.(4) 设矩阵.已知矩阵相似于，则秩与秩之和等于( )(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (5) 对于任意二事件和 ( )(A) 若，则一定独立. (B) 若，则有可能独立.(C) 若，则一

3、定独立. (D) 若，则一定不独立.(6) 设随机变量和都服从正态分布，且它们不相关，则 ( )(A) 与一定独立. (B) (,)服从二维正态分布. (C) 与未必独立. (D) +服从一维正态分布. 三 、(本题满分8分)设 试补充定义使得在上连续.四 、(本题满分8分)设具有二阶连续偏导数，且满足，又, 求五 、(本题满分8分)计算二重积分其中积分区域六、(本题满分9分)设，在内的驻点为 问为何值时，最小？并求出最小值.七、(本题满分9分)设是第一象限内连接点的一段连续曲线，为该曲线上任意一点，点为在轴上的投影，为坐标原点. 若梯形的面积与曲边三角形的面积之和为，求的表达式.八、(本题满

4、分8分)设某商品从时刻到时刻的销售量为， 欲在 时将数量为的该商品销售完，试求(1) 时的商品剩余量，并确定的值；(2) 在时间段上的平均剩余量.九、(本题满分13分)设有向量组(I)：，和向量组(II)：， 试问：当为何值时，向量组(I)与(II)等价？当为何值时，向量组(I)与(II)不等价？十、(本题满分13分)设矩阵可逆，向量是矩阵的一个特征向量，是对应的特征值，其中是矩阵的伴随矩阵. 试求和的值.十一、(本题满分13分)设随机变量的概率密度为 是的分布函数. 求随机变量的分布函数.十二、(本题满分13分)对于任意二事件 和， 称作事件和的相关系数.(1) 证明事件和独立的充分必要条件

5、是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】方法1：，属于型未定式极限，可以考虑利用重要极限求解首先凑成重要极限形式：方法2：=(注意：)(2)【答案】【分析】对称区间上的定积分，有【详解】= =+0=(3)【答案】【详解】本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可=(4)【答案】【详解】 应先化简，从中确定，所以 =(5) 【答案】-1 【详解】这里为阶矩阵，而为数，直接

6、通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可由题设，有=，于是有，即，解得 已知，故(6)【答案】【分析】本题的核心是逆向思维，利用协方差公式涉及公式：(1)，(2)(3)【详解】方法1：由方差定义的公式和相关系数的定义 同理，所以 方法2：由数学期望的线性可加性得：再利用，得由方差定义的公式，有 同理，再由相关系数的定义得，二、选择题(1)【答案】【分析】按照铅直、水平、斜渐近线三种情况分别考虑：先考虑是否有水平渐近线：，为曲线的一条水平渐近线；若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线：，为曲线的一条斜渐近线；而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点，且，则为曲线的一条垂直渐近线【详解】1

7、极限均不存在，故曲线不存在水平渐近线；2，所以曲线有斜渐近线3在处无定义，且，故 为铅直渐近线故曲线既有铅直又有斜渐近线，应选(2)【答案】【详解】被积函数中含有绝对值，应当作分段函数看待，利用在处左右导数定义讨论即可，由于在处可导的充分必要条件是左、右导数相等，所以 故应选(3)【答案】【详解】由函数在点处可微，知函数在点处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得在点处的两个偏导数都等于零 从而有选项正确(4)【答案】(C)【分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算，秩与秩之和等于秩与秩之和【详解】因为矩阵相似于， 又，所以，于是，矩阵与矩阵相似. 同理有所以，矩阵与矩阵相似. 又因为相

8、似矩阵有相同的秩，而秩=秩，秩=秩，所以有 秩+秩= 秩+秩=4，故应选(C)(5)【答案】B【详解】本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系当时，若相互独立，则一定有，从而有 可见，当相互独立时，往往并不是互斥的推不出， 因此推不出一定独立，排除(A); 若，则，但是否为零不确定，. 因此(C)，(D) 也不成立，故正确选项为(B)(6)【答案】C【分析】本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系只有 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的有结论如下： 若均服从正态分布且相互独立，则服从二维正态分布如果都服从正态分布，甚至是不相关

9、，也并不能推出 服从二维正态分布 若均服从正态分布且相互独立，则服从一维正态分布 若服从二维正态分布，则相互独立不相关【详解】只有当 服从二维正态分布时，不相关独立，本题仅仅已知服从正态分布，因此，由它们不相关推不出一定独立，排除(A); 若都服从正态分布且相互独立，则服从二维正态分布，但题设并不知道是否独立，可排除(B); 同样要求相互独立时，才能推出服从一维正态分布，可排除(D)故正确选项为(C)三【详解】为使函数在上连续，只需求出函数在的左极限，然后定义为此极限值即可令，则当时，所以定义，从而有，在处连续 又在上连续，所以在上连续四【详解】由复合函数的求导法则，得 从而 所以 =五【详解

10、】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算作极坐标变换：设，有记，则 =因此 ，六【详解】的驻点即满足的一阶导数为零的点，它是关于的函数由，得唯一驻点求的最小值，即求函数在时的最小值，得唯一驻点当时，从而，这时单调递增；当时，从而，这时单调递减. 因此当时为最小值，此时为极小值，也是最小值七【分析】梯形的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形的面积可用定积分计算，再由题设，梯形的面积与曲边三角形的面积之和为，可得一含有变限积分的等式，两边求导数，可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可【详解】由题意得，所以 两边关于求导，即化简，当时，得，即利用一阶线性非齐次微分方程的

11、通解公式所以此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 A= M= O C B x=曲线过点，故，代入，故有，从而 所以八【详解】(1) 在时刻的剩余量可用总量减去销量得到，即=， 再时刻将数量为的该商品销售完，得，即因此， (2) 由于随时间连续变化，因此在时间段上的平均剩余量，即函数平均值可用积分表示(函数在上的平均值记为)所以，在上的平均值为=因此在时间段上的平均剩余量为九【分析】两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示；而两个向量组不等价，只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断一

12、个向量是否可由线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵()为阶梯形讨论，而一组向量是否可由线性表示，则可结合起来对矩阵()同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可【详解】矩阵()作初等行变换，有=(第一行乘以-1加到第三行，第二行乘以-1 加到第三行)(1) 当时，有行列式，秩(，故线性方程组均有唯一解 所以可由向量组(I)线性表示同样，行列式，秩(，故可由向量组(II)线性表示因此向量组(I)与(II)等价(2) 当时，有由于秩()秩(，线性方程组无解，故向量不能由线性表示 因此，向量组(I)与(II)不等价【评注1】涉及到参数讨论时，一般联想到利用行列式判断，因此，本题也可这样分析：因

13、为行列式，可见(1) 当时，秩，因此三维列向量组与等价，即向量组(I)与(II)等价(2) 当时，秩，而行列式，可见=3， 因此线性方程组无解，故向量不能由线性表示 即向量组(I)与(II)不等价【评注2】 向量组(I)与(II)等价，相当于与均为整个向量组的一个极大线性无关组，问题转化为求向量组的极大线性无关组，这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论十【分析】 题设已知特征向量，应想到利用定义：. 又与伴随矩阵相关的问题，应利用进行化简【详解】 矩阵属于特征值的特征向量为，由于矩阵可逆，故可逆于是，且两边同时左乘矩阵，得，即，由此，得方程组 由式(1)，(2)解得或；由式(1)，(3)解得因此，根据(1)式知，特征向量所对应的特征值所以，当时，；当时，【评注】本题若先求出，再按特征值、特征向量的定义进行分析，则计算过程将非常复杂一般来说，见到，首先应想到利用公式进行化简十一【分析】先求出分布函数的具体形式，从而可确定 ，然后按定义求的分布函数即可注意应先