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1、概率论与数理统计：总习题一:习题5。习题15习题1习题2122习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4，5。PC2，2C5，3=1/10，PX=4=3,21C5，3=3/10,PX=5=,21C5,3=5,所以X的分布律为345pk/1/13/5习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元。因代营业务,每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：X102000pi0.15.2.450.15求因代营业务
2、得到的收入大于当天的额外支出费用的概率。解答:因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为:3X0,即PX20，P20=PX=3+PX=06.就是说,加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6习题11纺织厂女工照顾8个纺绽,每一纺锭在某一段时间内断头的概率为0.005，在这段时间内断头次数不大于2的概率。解答：以X记纺锭断头数,=8,p=。05，np4,应用泊松定理，所求概率为：P0X2=0xX=x=k=02b（k;800,.005)k02P（k;4)=e-4（+41/1!4/！）。2381习题2已知Xf（）=2，010，其它,求PX。5；P.5；F(x)。解答：PX
3、0.-，05;f（x）dx=,0；0dx+0,。5；2xx=x0，00。2,PX=05=P0。5-PX0.5=-,05；(x)x,05；f（x）=0.当时，F(x）；当时,（x)=，x；（t)d=,0；0d+,x；2dt=0,xx；当1时,（x)=,;f(t)dt=，0;dt+0,；2tdt+1,x;dt=20,1=，故F（）=0，x0；x，0x1；1,x1习题3设连续型随机变量X的分布函数为（）A+Be2x，x00,x,试求：(1）,B的值；(2）1X1；(3）概率密度函数F(x）。解答：（1)beau F(+）=lim+（+2x）=1，A=1;又becaue lix0+（+B-2x）=(0
4、）=， 1.（2)-X150=150,+；f（x)dx=150,+；100xd=100x50,+100/150=2/3，从而三个电子管在使用50小时以上不需要更换的概率为p=(23)3=8/27.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N（4000,3).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求:工人每月需完成多少件产品才能获奖?解答:用X表示工人每月需装配的产品数，则XN（000，3600）.设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得PX=0。1，即 PXx0.1,所以1F（x)=.1，即1（(x40）/60）0。
5、1，所以(（x4000）/6)=0.查标准正态人分布表得（1.8)=0。997，因此（x-0）/61。28,即x077件，就是说,想获超产奖的工人，每月必须装配477件以上。25随机变量函数的分布习题1已知X的概率分布为X-21123pi2aaaa试求:（1）;(2)Y=X21的概率分布。解答：（)beause2a+1/10+3a+a+a2a1，=1/10。（2）Y08pi3/11/531习题设连续型随机变量X的概率密度为（）,分布函数为F（x），求下列随机变量的概率密度:(1）Y=X;（）Y=X.解答：（1）FY(y)Py=1/Xy。当y时,FY（y）=P1/X0+P0/y=PX+PX1/y
6、(0)+1（1/),故这时fY（y)=(1）1/2（1/y）;当y0；0,y。习题设随机变量在任一区间，b上的概率均大于0,其分布函数为(），又Y在0,1上服从均匀分布，证明：Z=FX-(）的分布函数与X的分布函数相同。解答：因在任一有限区间a,b上的概率均大于0，故FX(x）是单调增加函数，其反函数FX1（y)存在，又在0，1上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY（y)=Y=0,y0；，0y1；1，y0,于是，的分布函数为Z(z)=ZzPFX1（Y)zPYFX(z）=0，FX(z）0FX(z),FX(z)1，,FX（z)1由于X(z)为X的分布函数,故0FX(z）1FX（z）0和FX(z）1均
7、匀不可能，故上式仅有FZ（z）FX（z）,因此，Z与的分布函数相同.总复习题二习题3在保险公司里有20名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险,在1年中每个人死亡的概率为0002,每个参加保险的人在月1日须交10元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领2000元赔偿金，求：（1）保险公司亏本的概率；（2)保险公司获利分别不少于1000元，200000元的概率解答：1）以“年”为单位来考虑,在1年的1月1日，保险公司总收入为5020元00000元。设1年中死亡人数为，则b（0,.0)，则保险公司在这一年中应付出200000X（元），要使保险公司亏本，则必须0000000000即X1（人）.因此，
8、保险公司亏本15k=16250C500(000）（0.98)250k1k0,；-5*5/k！0000069,由此可见，在年里保险公司亏本的概率是很小的。（2）P保险公司获利不少于100000元=P300000-200000X100000=PX0k010C20k(0。02)(0。998）500kk=0，10；e55k/!。98605，即保险公司获利不少于1000元的概率在98以上 P保险公司获利不少于2000元P30020000X000=PX5=k=052500（0.00)k（0.99)250-kk=0，5;55/！0.65961，即保险公司获利不少于20000元的概率接近于6%。习题6设X为一
9、离散型随机变量，其分布律为1 0 1p1/2,-q,2试求:(1)q的值;(2）的分布函数.解答：（1)bece离散型随机变量的概率函数PX=xi=pi，满足ii=1,且0pi，1/21-2qq2=1；01-q1q21，解得q=1从而X的分布律为下表所示：1 0 1pi1/21/22(）由F（x)=PXx计算的分布函数F(）=,1/2，/2，1，x1x0x0，其它（0），求常数及P1X1。解答：由概率密度函数的性质知+f（x)d1，而+f(）dx=-，a;0x+a,;cxdx=ca，+;ed（x)=cexvlinea+e,所以cea=1,从而c=ea于是Pa-a1a-1f(）d=a0dx+aa+eaexdx=-eaexvlieaa+1ea（e（+1）-a）=1e注意，a1a,而当a时,（）0。习题19设随机变量X的分布律为-2 -1 1 i1/5 1/ 15 115110试求YX2的分布律.解答:pi1/5 /615 1/1511/0X2 -1 13X2 4 1 19所以 0 4 9pi157/0 1/ 11/30注：随机变量的值相同时要合并,对应的概率为它们概率之和.习题2设随机变量X的密度为X（x）=0,
