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1、高中数学第2章统计2.1抽样方法2.1.3分层抽样互动课堂学案苏教版必修32.1.3 分层抽样互动课堂疏导引导1.分层抽样（1）分层抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况,即层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小,每层中所抽取的个体数可按各层个体在总体上所占比例抽取.分层抽样要求对总体的内容有一定的了解,明确分层的界限和数目,只要分层恰当,一般说来抽样结果就比简单随机抽样更能反映总体情况.（2）分层抽样和简单随机抽样与系统抽样的联系：将总体分成几层,分层抽取时采用简单随机抽样或系统抽样.（3）分层抽样的步骤将总体按一定的标准(分层的标准由题意来确定)分层；计算各层的个体数与总体的个体
2、的比；按各层中个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量；在每一层进行抽样,抽样时根据各层中个体的个数选择适当的抽样方法:个体数较少时用简单随机抽样,当个体数较多时可采用系统抽样.（4）分层抽样的优点是,使样本具有较强的代表性,而且在各层抽样时,又可灵活地选用不同的抽样法.因此,分层抽样应用也比较广泛.（5）分层抽样的公平性 分层抽样中,由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比,所以在分层抽样时,每一个个体被抽到的几率都是相等的.案例1 一个单位有职工160人,其中有业务人员112人,管理人员16人,后勤服务人员32人,为了了解职工的某种情况,要从中抽取一个容量为
3、20的样本,用分层抽样的方法抽取样本,并写出过程.【探究】分层抽样中各层抽取的个体数依各层个体数之比来分配,确定各层抽取的个体数之后,可采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体.解法一：三部分所含个体数之比为1121632=712,设三部分抽个体数为7x,x,2x,则由7x+x+2x=20得x=2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取的个体数分别为14,2和4. 对112名业务人员按系统抽样分成14个部分,其中每个部分包括8个个体,对每个部分利用简单随机抽样抽取个体.若将160名人员依次编号为1,2,3,160.那么在1112名业务人员中第一部分的个体编号为18.从中随机取一个号码,如它是
4、4号,那么可以从第4号起,按系统抽样法每隔8个抽取1个号码,这样得到112名业务人员被抽出的14个号码依次为4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108. 同样可抽出的管理人员和服务人员的号码分别为116,124和132,140,148,156.将以上各层抽出的个体合并起来,就得到容量为20的样本.解法二：由16020=8,所以可在各层中人员按81的比例抽取,又因为1608=2,1128=14,328=4,所以管理人员2人,后勤服务人员4人,业务人员14人.以下同方法一.规律总结 弄清三种抽样方法的实质,是灵活选用抽样方法的前提和基础.本题抓住了“分层抽
5、样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配”这一分层抽样的特点,首先确定了各层应该抽取的个体数,之后可采用系统抽样或简单随机抽样来完成抽样过程.解决此例的关键在于对概念的正确理解以及在每一次抽样的步骤中所采用的抽样方法,应注意语言叙述的完整性.2.三种抽样方法的联系与区别 简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,关系密切,对抽取的样本来说,可谓异曲同工.注意对三者进行比较,加深对三者的理解,并在抽样实践中正确地对它们进行选择.对三种抽样方法比较如下：类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样（1）抽样过程中每个个体被抽取的概率相等（2）均属于不放回抽样从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总
6、体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层,分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成 抓住三种抽样方法的本质特征是正确应用这三种抽样方法的前提.案例2 某单位有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取一个容量为n的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,却不用剔除个体；如果样本容量增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求样本容量n.【探究】总体容量为6+12+18=36（人）. 当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为,分层抽样的比例是,抽取工程师
7、人数为6=人,技术员人数为12=人,技工人数为18=人,所以n应是6的倍数,36的约数,即n=6,12,18,24. 当样本容量为（n+1）时,总体容量是35人,系统抽样的间隔为,因为必须是整数, 所以n只能取6,即样本容量n=6.规律总结 抓住分层抽样与系统抽样的特点是正确解题的关键.案例3 某单位有老人28人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况,从他们中抽取容量为36的样本,最适合抽取样本的方法是（ ）A.简单随机抽样 B.系统抽样C.分层抽样 D.先从老人中剔除1人,再用分层抽样【探究】解此问题的关键是结合三种抽样方法进行比较,明确他们各自的特点.【解析】总体总人数163
8、人,样本容量为36,由于总体由差异明显的三部分组成,考虑用分层抽样. 若按36163分配无法得到整解,故考虑先剔除1人,抽取比例变为36162=29,则依次为12、18、6.选D.答案：D规律总结 选择抽样方法过程中,应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样方法.在现实生活中,由于资金、时间有限,人力、物力不足,加之不断变化的环境条件,普查往往不可能,因此采取抽样调查.在实际操作中,为了使样本具有代表性,通常要同时使用几种抽样方法.活学巧用1.某地区为了解居民家庭生活状况,先把居民按所在行业分为几类,然后每个行业抽的居民家庭进行调查,这种抽样是（ ）A.简单随机抽样 B.系统抽样
9、C.分层抽样 D.分类抽样解析：因为居民按行业被分成几层,而每层又按一定的比例抽取,这是分层抽样的特点.答案：C2.某政府机关在编人员共100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见,要从中抽取20人,用下列哪种方法最合适（ ）A.系统抽样 B.简单随机抽样C.分层抽样 D.随机数表法解析：当已知总体由差异明显的几部分组成时,应采用分层抽样.答案：C3.下列问题应采取何种抽样方法？（1）某小区有800户家庭,其中高收入家庭有200户,中等收入家庭480户,低收入家庭120户,为了了解有关家用轿车购买力的情况,从中抽取一个容量为100的
10、样本；（2）从10名学生中抽取3名参加座谈会.解析：（1）800户家庭由于收入的高低不同,对于要调查的指标的影响不同,故应当采用分层抽样的方法.（2）总体中的个体数较少,采用简单随机抽样的方法比较方便.4.某企业共有3 000名职工,其中,中、青、老职工的比例为532,从所有职工中抽取一个样本容量为400人的样本,应采用哪种抽样方法更合理？且中、青、老年职工应分别抽取多少人？分析：因为总体由三类差异明显的个体（中、青、老年）组成,所以应采用分层抽样的方法进行抽取.解：由样本容量为400,总体容量为3 200知,抽取的比例应是=,而中、青、老年职工的比例是532,所以应抽取中年职工为400=20
11、0（人）；青年职工为400=120(人)；老年职工为400=80(人).5.某校有高中学生900人,高一年级300人,高二年级400人,高三年级200人,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为45人的样本,问各年级应抽取多少人？解析：易知,高一年级所占比例为,高二年级所占比例为,高三年级所占比例是,所以高一年级应抽取45=15(人)；高二年级应抽取45=20（人）,高三年级应抽取45=10（人）.6.选择合适的抽样方法抽样,写出抽样过程.（1）有30个篮球,其中甲厂生产的有21个,乙厂生产的有9个,抽取10个入样；（2）有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个入样；（3）有甲
12、厂生产的300个篮球,抽取10个入样；（4）有甲厂生产的300个篮球,抽取30个入样.解析：（1）总体由差异明显的几个层次组成,需选用分层抽样法. 第一步：确定抽取个数.=3,所以甲厂生产的应抽取=7个,乙厂生产的应抽取=3个； 第二步：用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个,乙厂生产的篮球3个,这些篮球便组成了我们要抽取的样本.（2）总体容量较小,用抽签法. 第一步：将30个篮球编号,编号为00,01,29； 第二步：将以上30个编号分别写在一张小纸条上,揉成小球,制成号签； 第三步：把号签放入一个不透明的袋子中,充分搅匀； 第四步：从袋子中逐个抽取3个号签,并记录上面的号码； 第五步：找出和所
13、得号码对应的篮球.（3）总合格容量较大,样本容量较小,宜用随机数法. 第一步：将300个篮球用随机方法编号编号为001,002,300； 第二步：在随机数表中任意确定一个数作为开始,如从第8行第29列的数“7”开始,任选一个方向作为读数方向,比如向右读； 第三步：从数“7”开始向右读,每次读三位,凡不在001300中的数跳过去不读,遇到已经读过的数也跳过去不读,便可依次得到286,211,234,297,207,013,027,086,284,281这10个号码,这就是所要抽取的10个样本个体的号码.（4）总体容量较大,样本容量也较大,宜用系统抽样法. 第一步：将300个篮球用随机方式编号,编
14、号为000,001,002,299,并分成30段； 第二步：在第一段000,001,002,009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个（如002）作为起始号码； 第三步：将编号为002,012,022,292的个体抽出,组成样本.7.(2005湖北高考,文12理11)某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,270；使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况:7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中,正确的是 （ ）A.都不能为系统抽样B.都不能为分层抽样C.都可能为系统抽样D.都可能为分层抽样解析：由定义可知,为分层抽样；可能是简单随机抽样,也可能是先分层,再在各层中采用简单随机抽样；为系统抽样.故选D.答案：D1
