《三角形“心”的向量关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形“心”的向量关系（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三角形“心”的向量关系我们都知道，在三角形中，因为有三边和三角，故有很多的心。其中作为学生应掌握的 四个心：重心，内心，外心，垂心。不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其向量的表 示形式。由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们进行整理和归 纳，让同行借鉴。各心的定义。1 .重心：三角形三条边的中线的交点。其性质一是连接重心和顶点，延长后必交于对应边的 中点。其性质二是重心把中线长分成 2: 1。2 .垂心：三角形三边的高线的交点。其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂直。3 .外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心。其性质是外心到三顶点等 距离。4 .内
2、心：三角形三内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆心。其性质是内心到三边等距 离。各心的向量表小。在三角形ABC中，点。为平面内一点，若满足：1. OA OB OC 0,则点。为三角形的重心。2. pA| OB OC ,则点O为三角形的外心。3. OA OB OB OC OC OA ,或者OA|2 BC一 2OB2 2 Iq 2AC OC 网，则点O为三角形的垂心。分析：由OA OB Ob Oc Oc OA有三个等式，其中一个如 OA Ob ob Oc ,则有OB(OA OC) 0,有OB CA 0 ,故OB AC。同理可证，点 O为三角形的 垂心。A而在三角形ABC中，记a OA, b OB
3、, C OC,则由AB2co222AC2 BO2- 2-2(a b) cJ. cJ 2，.，_(ac)b ,展开为 2ab2a c ,则(ac) b0故AC OB ,同理可证BC OA,从而点。为三角形的垂心。4. |BCpA |AcOB |ab|oc 0 ,则点o为三角形的内心。分析：若点。为三角形ABC的内心。如图，延长 AO ,过点C作CEBO ,由于BDO与CDE相似，有CE CD ,由AD为角A的平分线，有CD 区,从而有 OB DBDB ABCE处，CE 处 OB,故CE 竺 ObOB ABABAB同理可得，ODOEBD, OE OD BC,而BO为角B的内角平分线, BCBDOD
4、BDOAAB 有OE而OEOABCBCBC OA ,故OE AOABABABOC CE,所以 BC AO OC 竺 OB,ABABBC OAAB OC AC OB ,有 BC OA AC OB AB OC 0三角形“四心”练习试题1.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP = - （ -OA+-OB+2OC）,则点 P一定为三角形 ABC的（）322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点UUU2UUW2UUU2ULUI2LUUT2 UUU22 .在同一个平面上有ABC及一点。满足关系式：OABCOBCAOC AB,则O
5、为ABC的 （）A 外心B 内心 C 重心 D 垂心ULU! UUU ULU3 .已知 ABC的三个顶点A、B C及平面内一点 P满足：PA PB PC 0,贝U P为ABC的（）A 外心B 内心 C 重心 D 垂心4 .已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足：OP OA (AB AC),则P的轨迹一定通过 ABC的()A 外心B 内心 C 重心 D 垂心5 .已知 ABC P为三角形所在平面上的动点，且动点 P满足： uuu uur me uuu uur uurPA?PC PA?PB PB?PC 0 ,贝U P点为三角形的()A 外心B 内心 C 重心 D 垂心
6、uu uuruuui6 .已知 ABC P为三角形所在平面上的一点，且点 P满足：a PA b PB c?PC 0,则P 点为三角形的()A 外心B 内心 C 重心 D 垂心.2 2 _7 .在三角形 ABC中，动点P满足：CA CB 2AB?CP,则P点轨迹一定通过 ABC的：( )A 外心B 内心 C 重心 D 垂心，一，一 18 .已知非零向量与满足(+) =0且 =2 ,则ABCJ()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.等边三角形9 . ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为 H, OH m(OA OB OC),则实 数m =uuu uur uur
7、uur lur uu10 .点。是三角形ABCff在平面内的一点，满足 OAgDB OBgOC OCgDA,则点。是 ABC的( )(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点11 . O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOAAB AC0, 则P点的轨迹一定通过（周同(C)重心ABC 的()(D)垂心三角形“四心”练习试题答案1.已知A、B、C是平面上不共线的三点，。是三角形ABC的重心，动点P满足OP=- ( -OA+-OB+2OC),则点 P一定为三角形 ABC的(B )322A.AB边中线的中点B.AB
8、边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点_A A _A .分析：取 AB边的中点 M,则OA OB 2OM ,由OP =1 ( 10A +1OB+2OC)可得 32230P 30M 2MC ,2. MP -MC ,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点, 3且点P不过重心，故选2.在同一个平面上有B.ABC及一点O满足关系式:uuu2 uuur2OA BCuuuu2 uuui2 uuur2OB CA OCUUU2AB ,P满足:D )uuP满足：a PAuuruuinb PB c?PC 0 ,贝U PA 外心 B 内心 C 重心 D27 .在三角形ABC中，动点P满足：CA（B
9、 ）A 外心 B 内心 C 重心 D，一，一 18 .已知非零向量与潴足（+） =0且 =2 ,A.三边均不相等的三角形uuB.解析：非零向量与满足cosAuur uuurABAC 1iii uuuuuu | AB | | AC | 2(温 |ab|/ A=一3直角三角形C.等腰非等边三角形uuur超） 二0,即角 A的平分线垂直于 | AC|,所以 ABC为等边三角形，选D.D.等边三角形BC,AB=AC,又则O为ABC的（D ）A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心uur uuu uur3 .已知 ABC的三个顶点A、R C及平面内一点 P满足：PA PB PC 0,则P为ABC的（C ）
10、A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心4 .已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足:OP OA （AB AC）,则P的轨迹一定通过 ABC的（ C ）A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 也已理 ABC uP为EU角那在平面上的动点，且动点PA?PC PA?PB PB?PC 0,MP点为三角形的（A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心6.已知 ABC P为三角形所在平面上的一点，且点 点为三角形的（B ）垂心2 CB 2AB?CP,则P点轨迹一定通过 ABC的:垂心则ABCJ （）9 . ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为 H, OH m（OA OB
11、 OC）,则实数m二 1_uun uum umr uuur unr ulu10 .点O是三角形ABCff在平面内的一点，满足OAgDB OBgOC OCgDA,则点O是 ABC的 （B ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点11 . O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足Op OA （售 jAC）,0,则p点的轨迹一定通过 abci（）AB AC（A） 外心（B）内心（C）重心（D）垂心uuiruuir uur解析：因为坐 是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为 已和e2,又网 一OP oA AP ,则原式可化为AP(e e),由菱形的基本性质知AP平分BAC,那么在ABC 中，AP平分 BAC,则知选B.
