实验五电子波动性的Matlab仿真

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1、实验五 电子波动性的Matlab仿真实验目的1. 练习使用基本随机数发生器 rand()函数来模拟实际的随机过程。2. 认识电子的波动性，加深对量子力学基本概念(波粒二象性)的理解。3. 研究电子波长和缝宽的相对大小对衍射的影响，比较实物衍射和仿真衍射的异同。、实验原理电子双缝衍射是微观粒子具有波动性的重要证明实验，开始是作为假想实验而提出的1988年才由To no mura等人做出了该实验。本次仿真实验依据电子衍射的几率密度函数，运用蒙特卡罗随机模拟方法，借助计算机的数据可视化技术、绘图技术，构建电子双缝衍射的动态随机过程，清晰地演示出电子衍射的全过程。(即波粒二象性)，与运动1. 电子的德

2、布罗意波长按照德布罗意的物质波理论，任何粒子都具有粒子性和波动性粒子(电子)相联系的德布罗意波波长:(1)其中普朗克常数h =6.63 10-34 (SI)，P meVP和v分别是电子的动量和速度，me=9.1 10-31 (SI)是电子的静止质量。假设电子的速度v是经过加速电压U获得的，加速后的电子动能Ek=eU其中电子电荷e =1.6 10-19 (SI)。按照爱因斯坦的相对论，电子的运动质量和动能mem = ,=I 2 : 2y1 -v c2 2Ek 二 mc -mec其中真空光速c =3 108(SI)。联立(1)(2)(3)式得到电子的波长公式：7h1.225 O9j2商eU(1：

3、eU?2meC2)Ju(1 ； 0.9783； 10U)根据式代入电子的加速电压U便可得到电子的波长值，一般在10-10m或者1埃级别。2. 电子双缝衍射的概率模型由于电子既是粒子也是波，所以具有波动性，能发生衍射效应，比如双缝衍射。电子双缝衍射的装置示意图如图1所示。衍射屏位于xoy平面，观测屏位于xoy平面，缝S1和电子双缱衍射示建图D。设动量为p、能量S2的宽度均为a,两缝中心间距为(a+ b)，衍射屏到观测屏的距离为为E的自由电子沿Z轴正方向入射到双缝。入射电子波的波函数为:_(pz _Et)w0eh(5)根据量子理论，电子经过双缝而在t时刻到达观测屏上P点的衍射波函数为:asin(

4、k sin v)2cos(ka bsin 2k sin v2式中k =2二,，x代表屏上P点的坐标，衍射角二如图1所示。按照波函数的概率解释,电子在空间某点出现的概率二波函数绝对值平方?(x,t)|2。所以，电子经过双缝在观测屏上P点出现的概率(实际上是概率密度)考虑到D (a+b)，有近似式(8)式代入式，得到电子在屏上P点出现的概率(密度):w x = w0sin (Ax)(Ax)22cos (Bx)。易知(9)式中Wo是概率的最大值W(X)max，引入归一化概率(密度，即相对概率Pw(x)sin 2(Ax)2 cos 2Bx) -1 (Ax)式和(10)式就是本次仿真的理论公式3. 随机

5、数据的生成方法根据上述电子在观测屏上出现的概率(密度)进行随机抽样，便得到按此概率(密度)函数Pw(X)分布的随机数序列。在蒙特卡罗方法中，有多种方法可实现按已知分布的随机抽样。根据本文要处理的问题的特点，采用Von Neumann的舍选法。舍选法的具体做法是：(1) 计算机在一定范围内(观察屏上)随机地选取观测屏上一坐标点(X. yj,并按(10)式计算电子在该点的出现概率Pw(Xi)的值。(2) 计算机产生一个0至1之间均匀分布的随机数M;(3) 将Pw与M进行比较，若PwM,则选取该点(X” y(意味着此时电子出现在该点)；若PwM,说明电子此次将出现在该点， 否则就不出现。当电子某次出

6、现在点(兀爬)时，则在该点画一个一定大小的点代表电子(电子的可视化显示):plot(xi,yi,.r,markersize,10);% 画一个 10 像素的红色点三、实验内容1. 观察逐个电子的双缝衍射过程在电子双缝衍射计算机模拟的编程中，利用延迟函数pause(n) (n代表延迟时间，单位是秒，如取n=0.5 )的功能(延迟时间)，可以让电子在衍射屏上按指定的时间间隔n逐个出现，这样便可动态地演示出衍射条纹的形成过程，非常清晰地观察到从无规则的点到明暗相间条纹的形成过程。图2、3、4分别是电子数为200、2000、20000时的衍射图。从中可看出，当电子数目较少时，衍射特征不明显，表现出的是

7、粒子性。但随着电子数目的增多，衍 射特 征逐渐明显，表现出波动性。给定如下参数：加速电压U=1000V，缝宽a=200nm,双缝间距b=1 Jm,观察屏的范L 一 _5一一_5c 一一_5 C 一一_5围-5 10 m乞x乞5 10 m;-4 10 m岂y空4 10 m，衍射屏和观察屏的距离D=25cm。基于公式（4）（10）编制电子双缝衍射的仿真程序，使用延迟函数pause （n），逐个 观察200个电子的衍射行为。要求恰当设置坐标轴背景色和电子颜色，使图形清晰可辨。图2图3w电子双缝衍射幼态随机过程的仿M,N=20000, 2. 电子波长和缝宽的相对大小对衍射的影响A. 在1的基础上，绘制

8、20000个电子的双缝衍射条纹图，同时为了对照分析，请根据（10）式绘制电子在屏上出现的概率分布函数 的理论曲线（参见附图）。提示：使用subplot命令将两个图绘制在同一个图形窗口中，这样方便对照。并回答思考题1.注意：若要观察20000个电子的动态衍射过程，假定显示每个电子延迟0.5秒，那么耗时将会很大，故这里不宜再使用延迟函数pause来观察动态过程，可以在上面的程序中将该语句注释掉即可，不用删除！B. 在上述程序的基础上，改变电子波长（可以改变加速电压获得）和缝宽a的相对大小，观察衍射条纹的变化。注意，当缝宽足够大时，屏上显示的只是一条亮纹，表面上看衍射特征消失，但 是通过局部放大，仍

9、然清晰可见明暗相间的衍射条纹。所以，不管装置的特征长度和波长的大小如何，衍射现象总存在，只要有足够的分辨能力（包括借助仪器），都可以观察到任 何情况下的衍射图样。这也说明，用计算机模拟的衍射可以观察到通常情况下观察不到的衍射现象。四、思考题1. 在实验内容2.A中，通过两个图（可参见附图）的对照，可得到什么结论？2. 电子的双缝衍射实验中，当缝宽足够大时，屏上将出现一条亮纹，这个结果和大量经典的粒子通 过双缝打到屏上的结果有何不同？附图:L -5电子双缝衍射动态随机过程的仿真 1nA0x 10八电子双缝衍射概率密度理论分布曲线实验五1u=1000,a=200e-9,b=1e-6,D=0.25;

10、r=1.225e-9/sqrt(u*(1+(0.9783e-6)*u);A=pi*a/(r*D),B=pi*(a+b)/(r*D);axis(-5e-5,5e-5,-4e-5,4e-5)set(gca,color,0.122,0.012,0.62)title(电子双缝衍射动态随机过程的仿真，N=200,fontsize,20,color,k) i=1;while i=hhold onh_point=plot(x,y,v.rv,vmarkerSizev,10);endi=i+1;pause(0.01)set(h_point,color,W);end% 当动态点 2000, 20000 时，把 i

11、=2000, N=2000 或 i=20000, N=20000 即可2u=1000,a=200e-9,b=1e-6,D=0.25;r=1.225e-9/sqrt(u*(1+(0.9783e-6)*u);A=pi*a/(r*D),B=pi*(a+b)/(r*D);x=-5e-5:5e-7:5e-5;P=(sin(A*x)+eps).A 2)./(A*x+eps).A 2).*(cos(B*x+eps).A 2);subplot(2,1,2);plot(x,P);titleC电子双缝衍射概率密度理论分布曲线，fontsize,20,color,k);xlabel(x);ylabel(y);i=1;subplot(2,1,1);hold onaxis(-5e-5,5e-5,-4e-5,4e-5);set(gca,color?g);titleC电子双缝衍射动态随机过程演示；fontsize,20,color,k);while i=Mplot(x,y,v.rv,vmarkersizev,10);endi=i+1;endxlabel(x);ylabel(y);