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1、专题六解析几何必考点一直线与圆高考预测运筹帷幄1求直线方程2直线位置关系的判定及应用、点到直线的距离问题3求圆的方程4直线与圆的位置关系判定及应用速解必备决胜千里1与AxByC0平行的直线可设为AxBym0(mC)，与之垂直的直线可设为BxAyn0.2过两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线可设为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0.3两平行线间的距离：d(其中两平行线方程分别为l1：AxByC10.l2：AxByC20)【提醒】应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等4以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(xx1
2、)(xx2)(yy1)(yy2)0.5过圆x2y2r2上的点P(x0，y0)的切线方程为 x0xy0yr2.6过C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20的交点的圆的方程可设为：(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0，当1时，表示两圆的公共弦所在的直线方程7过圆内一点的直线被圆截得的弦中，最长弦是直径，最短的弦是以该点为中点的弦8直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，当该点与圆心连线与该直线垂直时，其切线长最小速解方略不拘一格类型一直线方程及位置关系例1(1)已知点A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的
3、两部分，则b的取值范围是()A(0,1)B.C. D.解析：基本法：当直线yaxb与AB，BC相交时如图(1)，由得yE.又易知xD，|BD|1，由SDBE得b.(1)(2)当直线yaxb与AC，BC相交时如图(2)，由SFCG(xGxF)|CM|得b1(0a1)对于任意的a0恒成立，b，即b，故选B.速解法：取b，则直线yax只能与BC和AB相交，才可能分割为面积相等的两部分，D由得E若SBED，则24a916a.显然无解，排除A.当a0时，yaxbyb，如图，b1.b1，故选B.答案：B方略点评：基本法利用直线相交，求出面积表达式，利用函数观点，求b的范围.速解法采用特值验证及极限分析法，
4、得出答案，较简单.(2)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析：基本法：直线xmy0与mxym30分别过定点A，B，A(0,0)，B(1,3)当点P与点A(或B)重合时，|PA|PB|为零；当点P与点A，B均不重合时，P为直线xmy0与mxym30的交点，且易知此两直线垂直，APB为直角三角形，|AP|2|BP|2|AB|210，|PA|PB|5，当且仅当|PA|PB|时，上式等号成立速解法：直线xmy0与mxym30分别过定点A(0,0)，B(1,3)且两直线垂直当P与A，B不重合时，形成直角三角形PAB，|AB|，
5、而SPAB|PA|PB|AB|h.当P到AB的距离h|AB|时，S最大，(|PA|PB|)max|AB|25.答案：5方略点评：(1)基本法是根据基本不等式求解.速解法是利用等积法直接找P的位置.(2)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B10建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.(3)判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.1设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析
6、：基本法：由l1l2，得，解得a1或a2，代入检验符合，即“a1”是“l1l2”的充分不必要条件，故选A.答案：A2(2016高考全国甲卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A BC. D2解析：x2y22x8y130，即(x1)2(y4)24，圆心为(1,4)到直线axy10的距离为d1，即|a3|解得a，选A.答案：A类型二圆的方程及位置关系例2(1)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2 B8C4 D10解析：基本法：设圆心为P(a，b)，由点A(1,3)，C(1，7)在圆上，知b2.再由|PA|PB|，得
7、a1.则P(1，2)，|PA|5，于是圆P的方程为(x1)2(y2)225.令x0，得y22，则|MN|(22)(22)|4.速解法：由题意可知AC为圆的直径，|AC|10，r5.AC的中点(1，2)为圆心，到y轴距离为1.|MN|24.答案：C方略点评：基本法是求出了圆的方程与y轴的交点，求MN长速解法是利用了几何法，解三角形求弦长，较简单(2)一个圆经过随圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_解析：基本法：由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0，2)易知线段AB的垂直平分线的方程为2xy30.令y0，得x，所以圆心坐标为，则半径r4.故该圆的
8、标准方程为2y2.速解法：如图，设圆心M(a,0)则r222a2(4a)2a，r4圆的方程为2y2.答案：2y2方略点评：(1)基本法是利用三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点求的.速解法是利用外接圆的几何意义，用待定系数法求的.(2)确定圆心位置的方法圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.1已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.解析：基本法：如图，在坐标系中画出ABC，利用两点间的距离公式，可知|AB|BC|AC|2，即ABC为等边三角形，设BC的中点为D，点
9、E为三角形外心，圆心即为重心|AE|AD|，|OE|.答案：B2(2016高考全国乙卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_解析：基本法：圆C的方程可化为x2(ya)2a22，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r，所以圆心到直线xy2a0的距离为，所以2()2()2，解得a22，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4.答案：4终极提升登高博见选择题、填空题的解法借鉴法方法诠释某些数学问题，涉及到其它学科的概念，在建立关系求解时，可以借鉴其它学科的概念或者公式来建立方程或函数关系常见类型(1)涉及到光线的问题，可以借鉴物理学中光线的性质(2)涉
10、及到质点的运动周期，可以借鉴圆周运动、或单摆，建立三角函数关系(3)涉及到质点的直线运动，可以借鉴位移公式建立二次函数关系，路程s的导数为速度v，速度v的导数为加速度.限时速解训练十五直线与圆(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22解析：选D.由题意可得圆的半径r，故圆的方程为(x1)2(y1)22，故选D.2直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是()A2或12B2或12C2或12 D2或12解析：选D
11、.依据题意得圆的圆心为(1,1)，半径为r1.因为直线和圆相切，所以1，解得b12或b2，故选D.3经过圆x22xy20的圆心G，且与直线xy0垂直的直线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：选A.圆心坐标为(1,0)，所求直线的斜率为1，所以方程为xy10，故选A.4两个圆C1：x2y22x2y20，C2：x2y24x2y10的公切线的条数为()A1条 B2条C3条 D4条解析：选B.C1：(x1)2(y1)24，C2：(x2)2(y1)24.圆心距d|C1C2|.|r1r2|dr1r2，两圆C1与C2相交，有两条公切线，故选B.5圆C：x2y24x8y50被抛物线y2
12、4x的准线截得的弦长为()A6 B8C10 D12解析：选B.依题意，圆的标准方程为(x2)2(y4)225，圆心为(2，4)，半径为5，抛物线y24x的准线为x1，故弦长为28，故选B.6若两直线l1：3x4ya0与l2：3x4yb0都与圆x2y22x4y10相切，则|ab|()A. B2C10 D20解析：选D.注意到直线l1与l2平行，且它们间的距离等于d；又直线l1，l2均与题中的圆相切，因此它们间的距离等于该圆的直径4，即有4，即|ab|20，故选D.7(2016山东潍坊模拟)圆C：(x1)2y225，过点P(2，1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()A10
13、 B9C10 D9解析：选C.因为圆的方程为(x1)2y225，所以圆心坐标为C(1,0)，半径r5，因为P(2，1)是该圆内一点，所以经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦因为|PC|，所以与PC垂直的弦长为22.因此所求四边形的面积S10210.8(2016山东烟台诊断)已知P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA是圆C：x2y22y0的一条切线，A是切点，若线段PA长度最小值为2，则k的值为()A3 B.C2 D2解析：选D.圆C：x2(y1)21，圆心C(0,1)，半径r1，圆心到直线的最小距离d，解得k2或k2(舍去)，故选D.9(2016河北石家庄二检)若圆(x5)2(y1)2r2(r0)上有且仅有两点到直线4x3y20的距离等于1，则实数r的取值范围为()A4,6 B
