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1、清华大学微积分习题第十二周习题课 一关于积分的不等式 1 离散变量的不等式 Jensen不等式：设f(x)为a,b上的下凸函数，则nxka,b,lk(0,1),k=1,2,L,n),lk=1，有 k=1nnflkxklkf(xk),n2 k=1k=1广义AG不等式：记f(x)=lnx为(0,+)上的上凸函数，由Jesen不等式可得 nxk0,lk(0,1),k=1,2,L,n),lk=1，有 k=1k=1xklkxk lkk=1nn当lk= 1(k=1,2,Ln)时，就是AG不等式。 nYoung不等式：由可得 1111xy设x,y0,p,q1,+=1，xpyq+。 pqpqHolder不等式
2、：设xk,yk0(k=1,2,L,n),p,q1,1p1q11+=1，则有 pqpqxyxykkkk k=1k=1k=1nnxkpykppq在中，令x=即可。 ,y=,X=xk,Y=ykXYk=1k=11212nnnSchwarz不等式：22xyxykkkk。 k=1k=1k=1nnnMinkowski不等式：设xk,yk0(k=1,2,L,n),p1，则有 ppp()x+yx+ykkk kk=1k=1k=1证明：n1pn1pn1p(xk=1nk+yk)=(xk+yk)(xk+yk)pk=1np-1=xk(xk+yk)k=1np-1+yk(xk+yk)k=1np-1记q=p111,+=1，由H
3、older不等式 p-1pqpp()x+yxkkkk=1nnk=1q(p-1)q(p-1)p()(xk+yk)+yx+ykkk k=1k=1k=11pn1qn1pn1q111nnnqppp =xkp+ykp(xk+yk) k=1k=1k=1即：k=1p()x+ykknxkp+ykp。 k=1k=11pn1pn1p2 相应的积分不等式 Schwarz积分不等式：f,gRa,b，则有 bbb22af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx 2 Holder积分不等式：f,gRa,b，p,q1,1p11+=1，则有 pqb1qbapqf(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx b证明：n
4、等分a,b，由Holder不等式, nk=1pqf(xk)g(xk)f(xk)g(xk) k=1k=1b-apb-apb-af(xk)g(xk) nnk=1nk=1bb1pb1qn1pn1qn1pn1qk=1nf(xk)g(xk)pqf(x)dxg(x)dxn+,Riemann积分的定义，f(x)g(x)dx。 aaa Minkowski积分不等式：f,gRa,b，p1，则有 b1pb1pb1paf(x)+g(x)dxaf(x)dx+ag(x)dx ppp证明：可以用Holder不等式证明。 -1 Young积分不等式：设fC0,+)严格单调增，f(0)=0,f(x)为f(x)的反函数，则有
5、a0f(x)dx+f-1(x)dxab,(a,b0), 0b其中等号当且仅当f(a)=b是成立。 3 用上述积分不等式证明另外的积分不等式 例.1 设函数fCa,b，00，且f(x)Ca,b，bb2-axf(x)dx=0，求证： -axf(x)dxabf(x)dx。 -a证明：x-a,b,(x+a)(x-b)0,x2-ab(b-a)x。 2因为f(x)0，(x-ab)f(x)(b-a)xf(x)，两边在-a,b上积分即可。 例.6 设f(x)在a,b上二阶可导，fa+b=0。证明 2证明：f(x)在ba(b-a)3f(x)dxsupf(x) 24xa,ba+ba+b点Taylor 展开，f=0 22a+b1a+ba+bf(x)=fx-+f(x)x-222!22a+b1a+ba+bfx-+supf(x)x-2222xa,b2baba+b1a+ba+bf(x)dxfx-+supf(x)x-dxa22xa,b22 3(b-a)=supf(x)24xa,b例.7 设f(x)在a,b二阶可导，f(a)=f(b)=0，证明：存在x(a,b)使得 baf(a)+f(b)(b-a)3f(x)dx=(b-a)+f(x) 23!11f(x1)(x-a)2=f(a)+f(x1)(x-a)2 2!2!11f(x)=f(b)+f(b)(x-b)+f
