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2、rime;f′(x)g(x)f(x)g′(x) (3) f(x)g(x)′ f′(x)g(x)f(x)g′(x)g(x) 2(g(x)≠0) 2导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率 (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同 (3)切点既在切线上，又在曲线上 例 1 (1)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足关系式 f(x)x 2 3xf′(2)ln x，则 f′(2)的值为() A. 74 B74 C.94 D94答案 B 解析 f(x)x 2 3x
3、f′(2)ln x， ∴f′(x)2x3f′(2) 1x ， 令 x2，得 f′(2)43f′(2) 12 ， 解得 f′(2) 74 . (2)(2023江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 yln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是_ 答案 (e,1) 解析 设 A(x 0 ，ln x 0 )，又 y′ 1x ， 则曲线 yln x 在点 A 处的切线方程为yln x 0 1x 0 (xx 0 )， 将(e，1)代入得，
4、1ln x 0 1x 0 (ex 0 )， 化简得 ln x 0 ex 0 ，解得 x 0 e， 则点 A 的坐标是(e,1) 易错提醒 求曲线的切线方程要注意过点 P 的切线与在点 P 处的切线的差异，过点P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点P 为切点 跟踪演练 1 (1)直线 2xy10 与曲线 yae x x 相切，则 a 等于() AeB2eC1D2 答案 C 解析 设切点为(n，ae n n)，因为 y′ae x 1， 所以切线的斜率为 ae n 1， 切线方程为 y(ae n n)(ae n 1)(xn)， 即
5、y(ae n 1)xae n (1n)， 依题意切线方程为 y2x1， 故 ae n 12，ae n (1n)1，解得 a1，n0. (2)若函数 yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 yf(x)具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是() Aysin x Byln x Cye xDyx 3答案 A 解析 对函数 ysin x 求导，得 y′cos x，当 x0 时，该点处切线 l 1 的斜率 k 1 1，当 xπ 时，该点处切线 l 2 的斜率 k 2 1，所以 k 1 k 2 1，所以 l 1 ⊥l 2 ；对函数 yln x
6、 求导，得y′ 1x 恒大于 0，斜率之积不可能为1；对函数 yex 求导，得 y′e x 恒大于 0，斜率之积不可能为1；对函数 yx 3 求导，得 y′3x 2 恒大于等于 0，斜率之积不可能为1. 考点二 利用导数研究函数的单调性 核心提炼 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域 (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认 (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况例 2 已知 f(x)a(xln x) 2x1x 2，a∈R.讨论 f(x)的单调性 解 f(x)的定义域为(
7、0，∞)， f′(x)a ax 2x 2 2x 3 (ax 2 2)(x1)x 3. 若 a≤0，当 x∈(0,1)时，f′(x)gt;0，f(x)单调递增， x∈(1，∞)时，f′(x)lt;0，f(x)单调递减， 若 agt;0，f′(x) a(x1)x 3 x2a x2a. (1)当 0lt;alt;2 时，2a gt;1， 当 x∈(0,1)或 x∈ 2a ，∞ 时，f′(x)gt;0，f(x)单调递增， 当 x∈ 1，2a时，f&pr
8、ime;(x)lt;0，f(x)单调递减 (2)当 a2 时，2a 1，在 x∈(0，∞)内，f′(x)0，f(x)单调递增 (3)当 agt;2 时，0lt;2a lt;1， 当 x∈ 0，2a或 x∈(1，∞)时，f′(x)gt;0，f(x)单调递增，当 x∈ 2a ，1 时，f′(x)lt;0，f(x)单调递减 综上所述，当 a≤0 时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，∞)内单调递减； 当 0lt;alt;2 时，f(x)在(0,1)内单调递增，在 1，2a内单调
9、递减，在 2a ，∞ 内单调递增； 当 a2 时，f(x)在(0，∞)内单调递增； 当 agt;2 时，f(x)在 0，2a内单调递增，在 2a ，1 内单调递减，在(1，∞)内单调递增 易错提醒 (1)在求单调区间时定义域优先 (2)弄清参数对 f′(x)符号的影响，分类讨论要不重不漏 跟踪演练2 (1)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(0，π)，有f′(x)sin xgt;f(x)cos x，且 f(x)f(x)0，设 a2f π6，b 2fπ4，cf π2
10、，则() Aalt;blt;c Bblt;clt;a Calt;clt;b Dclt;blt;a 答案 A 解析 构造函数 g(x)f(x)sin x ，x≠kπ，k∈Z，g′(x) f′(x)sin xf(x)cos xsin 2 xgt;0， 所以函数 g(x)在区间(0，π)上是增函数， 因为 f(x)f(x)0， 即 f(x)f(x)，g(x)f(x)sin x f(x)sin x ， 所以函数 g(x)是偶函数， 所以 g π6lt;g π4lt;g π2g π2， 代入解析式得到 2fπ6lt; 2f
11、π4lt;f π2， 故 alt;blt;c. (2)已知 f(x)(x 2 2ax)ln x 12 x2 2ax 在(0，∞)上是增函数，则实数 a 的取值范围是() A1B1C(0,1D1,0) 答案 B 解析 f(x)(x 2 2ax)ln x 12 x2 2ax， f′(x)2(xa)ln x， f(x)在(0，∞)上是增函数， ∴f′(x)0 在(0，∞)上恒成立， 当 x1 时，f′(x)0 满足题意； 当 xgt;1 时，ln xgt;0，要使 f′(x)0 恒成立， 则
12、 xa0 恒成立 xagt;1a，∴1a0，解得 a1； 当 0lt;xlt;1 时，ln xlt;0，要使 f′(x)0 恒成立， 则 xa≤0 恒成立， xalt;1a，∴1a≤0，解得 a≤1. 综上所述，a1. 考点三 利用导数研究函数的极值、最值 核心提炼 1由导函数的图象判断函数 yf(x)的极值，要抓住两点 (1)由 yf′(x)的图象与 x 轴的交点，可得函数 yf(x)的可能极值点； (2)由 yf′(x)的图象可以看出 yf′(x)的函数值的正负，从而可得到函数 yf(x)的单调性
13、，可得极值点 2求函数 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值 (2)求函数在区间端点处的函数值 f(a)，f(b) (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 例 3 (1)若函数 f(x)e x (m1)ln x2(m1)x1 恰有两个极值点，则实数 m 的取值范围为() A(e 2 ，e) B. ∞， e2 C. ∞， 12 D(∞，e1) 答案 D 解析 由题可得 f′(x)e x m1x2(m1)，xgt;0， 因为函数 f(x)e x (m1)
14、ln x2(m1)x1 恰有两个极值点，所以函数 f′(x)e x m1x2(m1)(xgt;0)有两个不同的变号零点 令 e x m1x2(m1)0， 等价转化成xe x12x m1(xgt;0)有两个不同的实数根， 记 h(x)xe x12x ， 所以 h′(x) (xex )′(12x)xe x (12x)′(12x) 2 ex (2x1)(x1)(12x) 2， 当 x∈ 0， 12时，h′(x)gt;0， 此时函数 h(x)在此区间上单调递增， 当 x∈ 12 ，1 时，h′(x)gt;0， 此时函数 h(x)在此区间上单调递增， 当 x∈(1，∞)时，h′(x)lt;0， 此时函数 h(x)在此区间上单调递减， 作出 h(x)xe x12x 的简图如图， 要使得xe x12x m1 有两个不同的实数根， 则 h(1)gt;m1，即egt;m1， 整理得 mlt;1e. (2)已知函数 f(x)a x e x (1ln a)x(agt;0，a≠1)，对任意 x 1 ，x 2 ∈0,1，不等式|f(x 1 )f(x 2 )|≤ al
