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1、绵阳市高中 2019 级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分CDBCC AABDD AD二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分137 142 1532161， 2 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17解：（1） f (x) = 3(1+ cos2wx) + sin2wx - 3= 3 cos 2wx + sin 2wxp= 2sin(2wx + ) 4 分3相邻对称轴间距离为p2，函数的最小正周期 T = p ，即2p2 w= p (w 0)，解得 w =1，p f (x) = 2sin(
2、2x + ) 6 分3p p p由 - + 2kp2x + + 2kp ，得2 3 25p p- + kpx + kp ( k Z )， 12 12函数 f (x) 在 0，p2上的单调递增区间为0，p128 分 p p（2）将函数 f (x) = 2sin(2x + ) 的图象向左平移 j(0 j ) 个单位后得 3 2 p pg(x) = 2sin2(x +j)+ =2sin(2x + 2j+ ) ， 3 3 g(x) 为偶函数，p g(0) = 2 ，即 sin(2j + ) = 1， 10 分3 p p kp p 2j + = kp + ，即 j = + (k Z) 3 2 2 12又
3、 0 p j ， 2p j = 12 分12理科数学答案第 1 页（共 6 页）18解：（1）S +1 = 3S + 2 ，n n 2 = 3S + 2S ，即 1 + a = 3a + 2a 1 2 1a = ， a2 = 6 2 分1 2当 n2 时， 3 1 +2S n = Sn-由得 an+1 = 3an ，即a an+1 = 3( 2) 又 3n 2 =，a an 1数列a 是以首项为 2，公比为 3 的等比数列 5 分na 3 6 分= 2 n-1n（2）由n a = n - ，7 分2 3n 1n得 T = （2 130 + 231 + + n3n-1) n3T = （2 13
4、+ 23 + + n3n) 1 2 n由，得 2 2 30 31 32 3n 3n)- T = （ + + + + -n ，-1n1- 3n-2T = 2 - 2n3 = (1- 2n)3 -1n nn1- 31 1 T = (n - )3 + 12 分 nn2 219解：选择条件： 由 btanC=(2a - b) tan B ，得 sin (2 )sinb C a - b B = ，cosC cosB由正弦定理可得， sin BsinCcosB=(2sin A- sin B)sin BcosC . sinCcosB = 2sin AcosC - sin BcosC ， 2sin AcosC
5、 =sin Ccos B +sin BcosC =sin (C + B )=sin A ， C (0，p) ， sinC 0 ， cos 1 pA = ，又 A(0， ) ， 2 2 pA = 3选择条件：由正弦定理可得， 2sinC cos B = 2sin A- sin B，又 sin A = sin(C + B) ， 2sin C cos B = 2sin(C + B) - sin B = 2(sin C cos B + cosC sin B) - sin B ，化简整理得 2cosCsin B = sin B ，由 sin B 0， 1cosC = ， 2又 0 C 0， 2bcosC
6、 = ccos A+ acosC ，由正弦定理，有 2sin BcosC = sinCcos A+ sin AcosC = sin(A+ C) = sin B ， sin B 0， 1cosC = . 2又 C (0，) ，2C = 4 分3 a c（1）证明：由正弦定理得 = =2 3 ， sin A sin C a=2 3 sin A，p a=2 3 sin A=2 3sin(B + ) = 3 sin B + 3cos B ，得证 6 分3（2）由 AP=2PB 及 AB=3，可得 PB=1，在PBC 中，由余弦定理可得，CP = a + - a B = ( 3 sin B + 3cos
7、B)2 +1- 2( 3 sin B + 3cosB)cosB2 2 1 2 cos= + 9 分4 2 3 sin 2B p p pABC 为锐角三角形， ( ) ，即 2 ( ， ) 6 2 3B ， B pp p当 2 = ，即 = 时，B B2 4CP2 取最大值为 4+2 3 线段 CP 的长度的最大值为1+ 3 12 分20解：（1）由题意得 f x = -x2 + ax + a2 -(x-3a)(x+a)1 分( ) 2 3 =当 a = -1时， f (x) = -(x -1)(x + 3) ， x-4，2由 f (x) 0 ，解得 -3 x 1；由 f (x) 0 ，解得 -
8、4x -3或1 x2 3 分函数 f(x)在区间(-3，1)上单调递增，在区间-4，-3)，(1，2单调递减又 25 32 7f (-4) = - ，f (-3) = - ，f (1) = 0，f (2) = - ， 3 3 3函数 f (x) 在区间-4，2上的最大值为 0，最小值为32- 6 分3理科数学答案第 3 页（共 6 页）（2）存在实数 m，使不等式 f (x) 0 的解集恰好为(m，+ )，等价于函数 f(x)只有一个零点 f (x) = -x2 + 2ax + 3a2 = - (x - 3a)(x + a) ，i)当 a 0 ，解得 3a x -a ，函数 f(x)在区间(3
9、a，-a)上单调递增；由 f (x) 0 ，解得 x -a ，函数 f(x)在区间( - ，3a)，(-a， + )上单调递减又5f (0) = - 0 ，3只需要 f (-a)0，解得-1a0实数 a 的取值范围为 -1a0 时，由 f (x) 0 ，解得 -a x 3a ，即 f(x)在区间(-a， 3a)上单调递增；由 f (x) 0 ，解得 x 3a ，即函数 f(x)在区间( - ，-a)，(3a， + )上单调递减；又5f (0) = - 0 ，只需要 f(3a)0，解得33 50 a 1 时，3f (x) xe - x +1 等价于 x2 - 2xln x -1 0 ，即x 22
10、1x - 2ln x - 0 x令1F(x) = x - 2ln x - ，x则2 1 (x -1)2F(x) =1- + = 0 x x x2 2函数 F(x) 在区间 (1，+ ) 上单调递增， F(x) F(1) = 0 ，当 x1 时，3f (x) xe - x +1 6 分x 22理科数学答案第 4 页（共 6 页）1（2）由题得 2g(x) = xe - 2xln x - x + (4 - a)x -1 x2若 g(x)=f(x)+(4-a)x-1 无极值，则 g(x)0 恒成立或 g(x)0 恒成立i)当 g(x)0 恒成立时， g(x) = (x +1)ex - 2(1+ ln x) - x + 4 - a0 ，即a - 2(x +1)ex - 2ln x - x min令 h(x) = (x +1)ex - 2ln x - x 2 (x +2) 1h(x) = (x + 2)ex - -1 = (x + 2)ex - = (x + 2)(ex - ) (x0)x x x1令 j(x) = ex - ，则x1j(x) = ex + 0 ，x2即 j(x) 在 (0， + )上单调递增 8 分1又 j( ) = e - 2 4 - 2
