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1、高一物理 -“等时圆”模型专题一、何谓“等时圆”“等时圆”是从一道高考题得到的一个重要结论及其应用，高考原题如下：在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下：图12004年江西高考试题：如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）A.t1t2t2t3 C.t3t1t2 D.t1=t2=t3
2、解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R，由牛顿第二定律得， 再由几何关系，细杆长度 设下滑时间为，则 图2由以上三式得， 可见下4滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。由此题我们可以得出一个结论。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等，均等于小球沿竖直直径（）自由落体的时间。推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等，均等于小球沿竖直直径（）自由落体的时间。像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。二、“等时圆”的应用,巧用等时圆模型解题对于涉及竖直面上物体运动时间
3、的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解例1：如图3，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。【变式训练】如图所示，AB和CD是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点P.设有一个重物先后沿斜槽从静止出发，从A滑到B和从C滑到D，所用的时间分别等于t1和t2，则t1和t2之比为()A21 B11 C.31 D12ABCD
4、M图5例2：如图5，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。则：（ ） A、a球最先到达M点 B、b球最先到达M点C、c球最先到达M点 D、d球最先到达M点解析：设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论，ta=2 ， tb ta ；c做自由落体运动tc= ；而d球滚下是一个单摆模型，摆长为R，td= ，所以C正确。
5、tbtatdtc.例3：三个相同小球从a点沿ab、ac、ad三条光滑轨道从静止释放，哪个小球先运动到最低点？解析1：设斜面侧边长为，倾角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为，物体的位移为。物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得，得， 、一定，所以越大时，下滑所用时间越短 解析2：按照右图做三个辅助圆，根据“等时圆”模型可知=，。由可推知，所以例4：两光滑斜面的高度都为h，甲、乙两斜面的总长度都为l，只是乙斜面由两部分组成，如图5所示，将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？图8解析：构想一辅助圆如图8所示：在AF上取一点O，使OA=
6、OC，以O点为圆心，以OA为半径画圆，此圆交AD于E点。由“等时圆”可知，由机械能守恒定律可知：，所以。又因为两斜面的总长度相等，所以，根据得，所以有，即乙球先到达斜面底端。图9图10例5：在离坡底B为10cm的山坡面上竖直地固定一根直杆，杆高OA也是10cm。杆的上端A到坡底B之间有钢绳，一穿心于钢绳上的物体（如图9）从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求它在钢绳上滑行时间（g=10m/s2）答案：如图10，把AO延长到C，使OC=OA=10cm，则点O到A、B、C三点的距离相等。以O为圆心，OA为半径作圆，则B、C一定在该圆的圆周上，由结论可知，物体从A到B的时间与从A到C的时间相等，即s
7、。AOBC30 图11 例6：倾角为30的长斜坡上有C、O、B三点，CO = OB = 10m，在C点竖直地固定一长10 m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图11所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g = 10m/s2） A2s和2s B 和 2s 图12AOBC30 12D C和4s D4s 和解析：由于CO = OB =OA ，故A、B、C三点共圆，O为圆心。又因直杆AO竖直，A点是该圆的最高点，如图12所示。两球由静止释放，且光滑无摩擦，满足“等时圆”条件。设钢绳
8、AB和AC与竖直方向夹角分别为1、2，该圆半径为r，则对钢球均有ABPHhO图13解得：, 钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角无关，且都等于由A到D的自由落体运动时间。代入数值得t=2s，选项A正确。例7：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点图14ABPHhOO1之间的距离。解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。如图6所示，此时等时圆的半径为： 所以 OABLLD
9、图15例8：如图15，在斜坡上有一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从A滑到B的时间。【解析】：可以以O为圆心，以 L为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间，所以有（此题与例5例6均属于同种类型）例9：如图所示，圆弧AB是半径为R的圆弧，在AB上放置一光滑木板BD，一质量为m的小物体在BD板的D端由静止下滑，然后冲向水平面BC，在BC上滑行L后停下不计小物体在B点的能量损失，已知小物体与水平面BC间的动摩擦因数为.求：小物体在BD上下滑过程中重力做功的平均功率解析：由动能定理可知小物体从D到
10、C有WGmgL0，所以WGmgL，由等时圆知识可知小物体从D到B的时间等于物体从圆周的最高点下落到B点的时间，即为t ，所以小物体在木板BD上下滑过程中，重力做功的平均功率为P.图17例10：如图17，一质点自倾角为的斜面上方的定点O沿光滑斜槽OP从静止开始下滑，为使质点从O点滑到斜面的时间最短，则斜槽与竖直方向的夹角应为多大？解析：如图17，作以OP为弦的辅助圆，使圆心O/与O的连线在竖直线上，且与斜面相切于P点。由“等时圆”可知，唯有在O点与切点P点架设的斜槽满足题设条件，质点沿其它斜槽滑至斜面的时间都大于此时间。由图可知，又为等腰三角形，所以。 PAB图19CO【变式训练1】：如图18，
11、 AB是一倾角为的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？AB图18P解析：借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图19所示，C为切点，O为圆心。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于/ 2。【变式训练2】：MP图20如图20所示，在同一竖直平面内，从定点P到固定斜面(倾角为)搭建
12、一条光滑轨道PM，使物体从P点释放后，沿轨道下滑到斜面的时间最短，则此轨道与竖直线的夹角为多少？解析1：解析法求解。从定点P向斜面作垂线，垂足为D，如图21所示，设P到斜面距离为h，则轨道长度为物体沿轨道下滑的加速度MP图21Dh由于联立解得：令根式中分母，利用积化和差得：，一定，当时，分母y取得最大值，物体沿轨道下滑的时间t最小。解析2：:“等时圆”作图求解。以 定点P为“等时圆”最高点，作出系列半径r不同（动态的）“等时圆”，所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上，如图22中甲所示，则轨道长度均可表示为物体沿轨道下滑的加速度由于，故得：，图22P 1M1M22PM2甲乙欲t最小，则须“
13、等时圆”的半径r最小。显然，半径最小的“等时圆”在图中与斜面相切于M2点，如图22中乙所示。再根据几何关系可知：。在这里，用了转化的思想，把求最短时间转化为求作半径最小的“等时圆”，避免了用解析法求解的复杂计算。C图23D例11：如图23所示，在竖直面内有一圆，圆内OD为水平线，圆周上有三根互成的光滑杆、，每根杆上套着一个小球（图中未画出）。现让一个小球分别沿三根杆顶端无初速下滑到O,所用的时间分别为、，则（ ）A B C D 无法确定BCB/C/图24D解析：题设图24中O点不在圆的最低点，故不是“等时圆”。延长OA，过B作B/BBO，则O、B、B/在同一圆周上，B/处自由下落到O的时间和小
14、球沿光滑杆由B无初速滑到O的时间相同。同理，过C作C/CCO，则O、C、C/在同一圆周上，C/处自由下落到O的时间和小球沿光滑杆由C无初速滑到O的时间相同。C/、B/、A自由下落到O的时间依次递减，故选项B正确。例12：有三个光滑斜轨道1、2、3，它们的倾角依次是600，450和300，这些轨道交于O点现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙，分别沿这3个轨道同时从静止自由下滑，如图，物体滑到O点的先后顺序是（ ） A.甲最先，乙稍后，丙最后 B.乙最先，然后甲和丙同时到达C.甲、乙、丙同时到达 D.乙最先，甲稍后，丙最后解析：设斜面底边长为，倾角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为，物体的位移为。物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得，得， 、一定，所以当时， 例13：如图，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，
