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1、26 函数模型及其应用（1）教学目标：了解数学建模； 掌握根据已知条件建立函数关系式； 培养学生分析问题、解决问题的能力； 培养学生应用数学的意识。教学重点：根据已知条件建立函数关系式。教学难点：数学建模意识。教学过程：一、创设情景，引入新课问题1、某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（ ）问题2、王老师今天从二中到金中上课，来的时候坐了出租车。我们知道金湖出租车的价格，凡上车起步价为2元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过
2、2km，按1.5元/km收费。问：（1）二中到金中的路程是4公里，问王老师今天坐车用了多少钱？（2）二中到金中的路程是x公里，问王老师今天坐车将用多少钱？二、合作探究求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：三、例题讲解例1.在一定范围内，某种产品的购买量为y t，与单价X元之间满足一次函数关系。如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t，单价应该为（ C ） A. 820 元 B. 840元 C. 860元 D. 880元例2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表
3、所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？分析：由表中信息可知销售单价每增加1元，日均销售量就减少40 桶销售利润怎样计算较好？解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为 而 （桶） 所以，当 时，y有最大值所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。 ABCD0例3：如图，有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是的直径，上底的端点在圆周上。问：腰为多少时，梯形周长最大？解:设腰长AD=BC=x,周长为y四、巩固练习1、某计算机
4、集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元。则：（1）总成本C（万元）关于总产量x（台）的函数关系式为 （2）单位成本P（万元）关于总产量x（台）的函数关系式为 （3）销售收入R（万元）关于总产量x（台）的函数关系式为 （4）利润L（万元）关于总产量x（台）的函数关系式为 2、 某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到终点站需16min，快车比慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站。试写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式。并回答：两车何时相遇？相遇时距始发站多远？3、用一条长为米的钢丝折成一
5、个矩形，该矩形长为多少时，面积最大？五、小结与作业1.解题四步骤：设、列、解、答.2.解题过程：从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答. 即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解，再结合实际做出回答.作业：p88 3、426函数模型及其应用突破思路本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数其中，最重要的是二次函数模型合作讨论1解决函数应用题的基本步骤和流程图是什么
6、？我的思路：解决函数应用题的流程图是：解决函数应用题的基本步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答2解决函数应用题的关键点和难点是什么？我的思路：解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图，引入变量，建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解
7、，要注重数学能力的培养思维过程解决函数应用题关键在于理解题意，提高学生的阅读能力一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化另一方面，要不断拓宽学生的知识面，提高其间接的生活阅历，如经常介绍一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也可以涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，逐步渗透、细水长流，培养学生实际问题数学化的意识和能力新题解答【例1】某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少t万件（1）将税金收入表示为征收
8、附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？解析：（1）设每年销售是x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税金为y250xt依题意，x40t所求的函数关系式为y250（40t）t（2）依题意，250（40t）t600，即t225t1500，10t15即税率应控制在1015之间为宜【例2】一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社
9、买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：设每天从报社买进x份（250x400）数量（份）价格（元）金额（元）买进300.206x卖出20x102500.306x750退回10（x250）0.080.8x200则每月获利润y（6x750）（0.8x200）6x0.8x550（250x400）y在x250，400上是一次函数x400元时，y取得最大值870元答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元点评：1信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法
10、，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等2自变量x的取值范围250，400是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘变式练习1商店某种货物的进价下降了8，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r增加到（r10），那么r的值等于（）A12B15C25D50解析：销售利润100设销售价为y，进价为x，则解之得r15答案：B2如下图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点沿着ABCM运动时，以点经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（）解析：本题主要考查求分段函数的解析式，如图所示，当0x1时，yx1x；当1x2时，y1（x1）
11、（2x）x；当2x2.5时，y（x）1x则y图形为A答案：A3按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8，零存每月利息2，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币（）A2（18）3.5万元B2（18）3（12）6万元C2（18）3225万元D2（18）32（18）3（12）6万元解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8计算，而半年按6个月（月息2）计算，又由于是复利问题，故只有选B答案：B4某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）解析：由于d0表示学生的家与学校
12、的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D答案：D5容器中有浓度为m的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，这样进行了10次后溶液的浓度为（）AmBmCm Dm答案：B6某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A57kmB911kmC79kmD35km答案：A7某工厂生产两种成
13、本不同的产品，由于市场销售发生变化，A产品连续两次提价20，B产品连续两次降价20，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A、B产品各一件，盈亏情况为（）A不亏不赚B亏5.92元C赚5.92元 D赚28.96元答案：B8某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20，要使水中杂质减少到原来的5以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据lg20.3010，lg30.4771）A5 B10C14D15答案：C9有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为_m2（围墙厚度不计）解析：设矩形宽为xm，则矩形长为（2004x）m，则矩形面积为Sx（2004x）4（x25）
