《现代控制理论知识点复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代控制理论知识点复习（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、现代控制理论知识点复习第一章 控制系统的状态空间表达式1. 状态空间表达式毎 Ax + Bun 阶u : r x 1 y : m x 1 A: n x n B : n x r C : m x n D : m x ry = Cx + DuA称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；E为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，D直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。2状态空间描述的特点 考虑了“输入一状态一输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 状态方程和输出方程都是运动方程。 状态变量个数
2、等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。 状态变量的选择不唯一。 从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 建立状态空间描述的步骤：a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。 状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。3模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数， 将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态 空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭
3、头将这些元件连接起来。4状态空间表达式的建立 由系统框图建立状态空间表达式：a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b每个积分器的输出选作x，输入则为她c由模拟图写出状态方程和输出方程。ii 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上 的电流作为状态变量。利用KVL和KCL列微分方程，整理。 由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。方法：微分方程T系统函数T模拟结构图T状态空间表达式。注意：a如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b模拟结构图
4、的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。5 状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项 式的系数也是系统的不变量。特征矢量p的求解：也就是求（九.I - A）x二0的非零解。ii状态空间表达式变换为约旦标准型（A为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。b有重根时，设3阶系统，九=九，九为单根，对特征矢量123p , p求法与前面相同，p称作九的广义特征矢量，应满足(九I - A)p = -p。1 3 2 1 1 2 1系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数T部分
5、分式展开T模拟 结构图T状态空间表达式。6 由状态空间表达式求传递函数阵W (s)W (s)二C (sI - A)-i + B + D m xr的矩阵函数】W W表示第j个输入对第i个输出的传递关ijij系。状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵W (s)是不变的。子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵W(s)。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。第二章控制系统状态空间表达式的解一线性定常系统齐次状态方程(d Ax )的解：x(t) = eAtx0二矩阵指数函数一一状态转移矩阵1 e (t)二eAt 表示x(0)到x(t)的转移。5个基本性质。2. eAt
6、的计算：a定义；b变换为约旦标准型A(或J)二T-1 AT,eAt = Te或TeJtT-1c用拉氏反变换eAt二L-i(si - A)-i 记忆常用的拉氏变换对父111n!1s0(t) o 1;1(t) o;t o;e-ato;tno;te-ato;smt o;cost os s2s + asn+1(s + a)2s2 + 2s2 + 2d应用凯莱-哈密顿定理三线性定常系统非齐次方程(毎Ax + Bu )的解：x(t) =e(t)x(0) + re(t -T)Bu(T)必。可0由拉氏变换法证明(当然给出拉氏变换法的求解思路)。求解步骤：先求e(t)二eAt，然后将B和u(t)代入公式即可。特
7、殊激励下的解。第三章 线性控制系统的能控性和能观性一能控性及能观性定义(线性连续定常)二 线性定常系统的能控性判别(具有一般系统矩阵的多输入系统)判别方法(一)：通过线性变换 毎Ax + Bu T d T-1 ATz + T-1 Bu1若A的特征值互异，线性变换(x = Tz )为对角线标准型，A = T-1 AT，能控性充要条件：T-1B没有全为0的行。变换矩阵T的求法。2若A的特征值有相同的，线性变换(x二Tz )为约当标准型，J = T-1 AT，能控性充要条件： 对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的T-1B中最后一行元素没有全为0的。 T-1B中对应于互异特征根部分，各行元素没有全
8、为0的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T、T-1、T-iB。 判别方法(二)：直接从A,B判别 毎 Ax + Bu 能控的充要条件是 能控性判别矩阵M = (B, AB, A2B,A An-1B)的秩为n。在单输入系统中，M是一个n x n的方阵；而多输入系统，M是一个 n x nr的矩阵，可通过rankM = rank (MM t )三线性定常系统的能观性判别判别方法 (一):通过线性变换Ax y = Cx毎 T-i ATz y = TCz1若A的特征值互异，线性变换(x = Tz )为对角线标准型，A = T-iAT，能观性充要条件： TC
9、中没有全为0的列。 变换矩阵T的求法。2 .若A的特征值有相同的，线性变换(x = Tz )为约当标准型，J = T-1 AT，能控性充要条件: 对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的TC中第一列元素没有全为0的。 对应于互异特征根部分，对应的TC中各列元素没有全为0的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求T、T-1、TC。 判别方法(二)：直接从A，C判别的秩为n。能观性的充要条件是能观性判别矩阵N=(C CAM乂 CAn-i /在单输入系统中，N是一个n x n的方阵；而多输入系统，N是一个 nm x n的矩阵，可通过rankM = rank(
10、MM t )六能控性与能观性的对偶原理1若 A = At，B = Ct，C = Bt，则 E (A ,B , C )与 E (A ,B , C )对偶。2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。2. E与E对偶，则E能控性等价于E能观性，E能观性等价于E能控性。1 2 1 2 1 2七能控标准型和能观标准型 对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观 标准型比较方便。1能控标准I型(如果已知系统的状态空间表达式)判别系统的能控性。计算特征多项式I九I - A 1= Xn + a九-1 + A
11、a九+ a，即可写出A。求 n -1102.变换矩阵Tc1b = T -1b =cl00，M1能观标准II型p1pA1MP An-11p 二0,0,A ,1b, Ab,A An-1B-1。求 T -,计算1c1c二cT，也可以验证是否有A = T -1 AT。c1c1c1判别系统的能观性。计算特征多项式I九I-A 1=九” + a九-1 +A a九+ a，即可写出A。求n-110变换矩阵To 21ccAMcAn-1-100。求t ，计算b = T -1b ,M02021c = cT =b 0 A 1,也可以验证是否有A = T -1 AT。02o 2o 23. 如果已知传递函数阵，可直接写出能
12、控标准I型和能观标准II型的状态空间表达。Bsn-1 + B sn -2 + a + B s + Bn-110sn-1 + asn-1 + asn-2 + A + a s + an-1n-210能控标准型:能观标准II型:010A0 -o001A00MMAMb：=M000A10aa一 aAa1012n-1 -110 0A0-a_ B 001 0A0一 aB110 1A0-ab =M2M MMAMBn 一 20 0A1aBn-1-n-1A =A =c =卩 0c = 0 0B1 AA 1卩n-1八线性系统的结构分解 1按能控性分解（状态不完全能控，即 rankM = n n ）， 通过非奇异变换
13、x = RX完成。1cR =（R R A R A R ），前n个列矢量是M中n个线性无关的列，其他列矢量保证Rc12n1n11c非奇异的条件下是任意的。2.按能观性分解（状态不完全能观，即 rankN = n n ）， 通过非奇异变换x = RX完成。1o-1 =/ /、Ri,R2MrRn1M前n个行矢量是N中n个线性无关的行，其他行矢量保证R -非奇异的条件下是任意的。3按能控性和能观性分解(系统是不完全能控和不完全能观的)，采用逐步分解法，虽然烦琐, 但直观。步骤：首先按能控性分解(x能控状态，x_不能控状态)。对不能控子系统按能观性分解(x一ccco不能控能观状态，X不能控不能观状态)。将能控子系统按能观性分解(x能控能coco观状态，X_能控不能观状态)。综合各步变换结果，写出最后的表达式。co另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。 九传递函数阵的实现问题1实现的定义：由W (s)写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函数阵的实现问题。条件：传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；元是s的真有理分式。注意：如果不是有理分式，首先求出直接传递矩阵D二lim W(s)。s s2 能控标准型和能观标准型实现单入单出系统，W(s)是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能观标准2型实现。X=
