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1、2008年湖南省百校联盟杯高二基础学科知识竞赛数学(理) 时量：120分钟 分值：150分 ( 2008.5.24.10:0012:00)一、选择题（50分）1、设集合，则 （ ） A 0，2 B 1，2 C 0，4 D 1，42函数图象的对称中心是 （）A B C D不存在3、函数 在点处连续，则的值是 （ ）A2BC3 D 4已知等腰三角形底角的正弦值为则顶角的正弦值是 （ ） 5对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 （） A B C D6. 正项数列中，已知对一切正整数，都有，若，则 ( ）A.8 B.16 C.32 D.647如图，已知边长为2的正三角形ABC中线AF与中位线DE相
2、交于点G，将此三角形沿DE折成二面角A1DEB，设二面角A1DEB的大小为，则当异面直线A1E与BD的夹角为60时，cos的值为（ ）A B C D8平面向量的集合到的映射由确定，其中为常向量若映射满足对任意、恒成立，则的坐标可能是 （）A B. C. D. 9直线与圆相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于，则直线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于 （ ）A. B. C.1或3 D. 或10、长沙汽车南站每天都有3辆开往武汉的分为上中下等的客车，某天某先生准备从长沙南站搭客车前往武汉，但他不知客车的车况，也不知如何发车，为尽可能乘上等车，他采用如下策略：先放过第一辆不乘，如果第二辆比第一辆好，则
3、乘该车，否则上第三辆车，那么他能乘上等车的概率为 （ ）A B C D 二、填空题（25分）11设随机变量服从正态分布:,若,则 . 12、的展开式中的常项是 。（用数字作答）13若等差数列的前六项的和，且，则= 。14已知过抛物线焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 15已知过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离等于球半径R的一半，且AB=BC=CA=2，则球面积S= 三、解答题（75分）16、（12分）设是平面上的两个向量。（）求证垂直；（）若，求的值。17、（12分）2008年北京奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守估计中国乒乓球男队获得每
4、枚金牌的概率均为，中国乒乓球女队获得每一枚金牌的概率均为（）求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率；（）记中国乒乓球队获得金牌的数为，按此估计的分布列和数学期望。BMEDCA18、（12分）如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，且()求证：平面；()求直线与平面所成的角的大小；()求二面角的大小19. （13分）已知数列（）若， ；（）设数列，求20. （13分）如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点、，当AC垂直于x轴时，恰好有。（）求该椭圆的离心率；（）设，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。21、（13分）已知函数（其中e是自
5、然对数的底）（）判断的奇偶性；（）在上求的极值；（）用数学归纳法证明：当时对任意的正整数n都有 高二基础学科知识竞赛 理科数学答案1-10 ABCAC BDDAB11、1 12、112 13、5 14、 15、16、解：（）由已知 2分 垂直4分（） 6分 8分又 10分解得 12分17解：（）设中国乒乓球男队获0枚金牌，女队获1枚金牌为事件，中国乒乓球男队获1枚金牌，女队获2枚金牌为事件，那么，= 6分（）根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量，它的所有可能取值为0，1，2，3，4（单位：枚）那么 10分则概率分布为：01234那么，所获金牌的数学期望（枚）答：中国乒乓球队获得金牌数的期
6、望为枚。12分18解法一：()四边形是正方形， 平面平面， HBMEDCA又，平面 平面， 平面 4分 ()连结，平面，是直线与平面所成的角设，则， ， 即直线与平面所成的角为 8分 ()过作于，连结 平面，平面是二面角的平面角平面平面，平面在中， ，有由()所设可得， 二面角等于 12分解法二: 四边形是正方形 ，平面平面，平面， 2分BMEDCAyxz可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，是正方形的对角线的交点，4分 () ， 平面 4分() 平面，为平面的一个法向量， ， 直线与平面所成的角为8分 () 设平面的法向量为，则且，
7、且 即取，则， 则又为平面的一个法向量，且，设二面角的平面角为，则，二面角等于12分19. 解：（I），又 ，即，且3分所以，5分 （II）由（I）可得又， 10分得12分13分20. 解：（）当AC垂直于x轴时，由椭圆定义，有从而 又 即，解得4分（）由，得 于是，椭圆的焦点坐标是，椭圆方程为即 6分设（1）若直线AC的斜率存在，则直线AC的方 程为代入椭圆方程有：由韦达定理得，10分所以于是同理可得故12分（2）若直线ACx轴， 则仍有 综上所述，（定值）13分21、解：（），为偶函数 . 2分（）当， 则当时，当时，所以 .7分（）当时， (1) 当n=1时，要证 令，则 即 成立 .9分假设n=k时成立， 则有 ， （2）那么当n=k+1时，要证 成立 令，则由（2）得，所以，即成立根据结论成立 .13分
