圆度误差的最小二乘法

《圆度误差的最小二乘法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆度误差的最小二乘法（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、误差与数据处理圆度误差的最小二乘法、最小包容区域法和最优函数法评定精度之比较田树耀(福建华侨大学机电学院，泉州362021)摘要目的在于寻找符合最小条件的圆度误差评定方法。首先详细介绍圆度误差 评定的最小二乘法、最小包容区域法和最优函数法的算法模型与实现方法;然后， 在三坐标测量机上对被测圆进行采样点坐标数据提取，分别用最小二乘法、最小包 容区域法和最优函数法对给定圆进行误差评定。结果表明，最小包容区域法评定精 度最高，最优函数法评定精度次之，最小二乘法评定精度较低。关键词圆度误差;最小二乘法;区域搜索;MTALAB;评定精度0引言圆度公差是评价回转体零件的一项重要精度指标，它用于控制被测圆柱

2、面任一正截 面上的实际圆相对于理想圆的变动量1周上的测量采样点。设待求最小二乘圆的方程为:(x-x0)2+(y-y0)2=R2,其中(x0，y0) 为最小二乘圆的圆心,R为最小二乘圆的半径。令E1=E2=En=(x1-x0)+(y1-y0)-R(x2-x0)+(y2-y0)-R(xn-x0)+(yn-y0)-R。圆度误差的大小将直接影响到零件的回转精度、配合面的接触状况及耐磨性等，因此圆度误差的精确测 量与评定无论对零件合格性的判定，还是对圆度误差产生原因的判断与消除都是十 分重要的。随着三坐标测量机、圆度仪等自动数据采集仪器日益广泛的应用，坐标 测量值原则越来越有取代测量特征参数原则和控制实

3、效边界原则之势成为圆度误 差的主要测量原则2(1)最小二乘法的目标函数为J(x0，y0，R)=须有=00=00=0将方程组(1)展开并化简得2nx0-2Exi+i=1nni=1EE2i，约n束条件是J(x0,y0,R)ymin。要满足约束条件，必基于测量坐标值原则下圆度误差的测量一般在圆度仪或三坐标测量机上实现。 GB/T7235-2004规定了圆度误差的4种评定方法:最小区域法、最小二乘法、最小 外接圆法和最大内接圆法3。其中，最小二乘法因其理论成熟、算法简便易行等 优点应用最为普遍,甚至被列为欧美国家的标准。但最小二乘法并不能提供满足最 小条件的圆度误差评定结果。研究人员研究了多种方法以获

4、得最小区域的圆度误 差评定结果，但这些方法大都由于算法复杂，不易被工程实际人员掌握。本文提出 最优函数法评定圆度误差的数学模型，深入探讨了最小二乘法、最小包容区域法和 最优函数法的算法模型与实现方法。i=1En n 2R(xi-xO)(xi-xO)+(yi-yO)2R(yi-yO)(xi-xO)+(yi-yO) =0=02nyO-2Eyi+i=1ni=1ER=ni=1E(xi-xO)+(yi-yO)1圆度误差评定的最小二乘法 设(xi,yi),i=l,2,n,n3为被测实际圆 3为被测圆周上的测量采样点。采样点可以是均匀分布或非均 匀分布，采样点数目可以是偶数或奇数。区域搜索法评定圆度误差的基

5、本方法如下: 首先，在已经测得的被测圆周上的有效测量采样点(xi,yi),i=l,2,n,n3中取3点(该3 点大致在被测圆周上均匀分布)，以此3点拟合初始圆，求取初始圆的圆心。设 (xl,yl),(x2,y2),(x3,y3)为所取的3个测量采样点，初始圆的方程为(x-xO)2+(y-yO)2=R2i=lExi-(xO+j$)+yi-(yO+k$)-R2(x0,y0)为待求的初始圆的圆心。将所取的3个测量采样点的坐标代入初始圆方程，有(xl-x0)2+(yl-y0)2=R2(x2-x0)2+(y2-y0)2=R2(x3-x0)2+(y3-y0)2=R2将方程组(6)化简得 x2l-x22-2

6、(xl-x2)x0+y2l-y22-2(yl-y2)y0=0(7)解方程组得初始圆的圆心坐标,同时可以根据方程组(6)求得初始圆的半径。初始圆的圆心坐标为 x0=(y1-y2)(y1y2+x3)+(y2-y3)(y2y3+x1)- (yl- y3)(y1y3+x22)/2y1(x3-x2)+ 2y2(x1-x3)+2y3(x2-x1) 2y0=(x1-x2)(x1x2+y23)+(x2-x3)(x2x3+y1)-2n图1区域搜索示意图搜索的约束条件为i=1Exi-(xO+j$)+yi-(yO+k$) -R2ymin记满足搜索约束条件的j=jO,k=kO，则区域搜索法所得的理想圆的圆心坐标为 (

7、xO+jO$,yO+kO$),为了得到高精度的搜索结果，可以扩大搜索区域，减小搜索步长。 但应该注意的是:无论是搜索区域的扩大，还是搜索步长的减小都将增加计算量。最后，得到区域搜索法的圆度误差评定结果D=maxminxi-(xO+jO$)+yi-(yOill Ip.;.AEiki.nei+kO$)-xi-(xO+jO$)+xi-(yO+kO$)(10)222x21-x3-2(xl-x3)x0+yl-y3-2(yl-y3)y0=0(实际圆x1-x3)(x1x3+y22)/2x1(y3-y2)+ 2x2(y1-y3)+2x3(y2-y1)其次,以上述求得的初始圆圆心作为搜索的中心，确定合适的搜索区

8、域大小和搜索 步长。设搜索步长为$,搜索区域为以初始圆圆心(xO,yO)为中# 64#3圆度误差评定的最优函数法Matlab610的优化工具箱4(OptimizationToolbox)中含有一系列的优化算法函数，可 以用于解决以下工程实际问题。而用于求解无约束条件非线性极小值的函数 有:fminserch和fminunc,本文用的是fminunc用法介绍如下： 误差与数据处理x,fval,exitflag,output,grad=fminunc(fun,xO,options)x:最优解;fun:是目标函数;xO:初始解;op-tions:设置优化选项参数;fval:返回目标函数 在最优解x点

9、的函数值;exitflag:返回算法终止标志;output:返回优化算法信息的一 个数据结构;grad:解x处fun函数的梯度值返回到grad中。设(xi,yi),i=1,2,n,n3为被测实际圆周上的测量采样点。oc为最小条件圆心，其坐 标为xx(1),x(2),令目标函数为F(x):F(x)=Rmax-Rminxmax_x(1)+ymax_x(2)_xmin_x(1)+ymin_x(2)式中,Rmax,Rmin为从圆心oc到轮廓最远和最近被测点的半径;(xmax,ymax)为 Rmax相对应的坐标;(xmin,ymin)为Rmin相对应的坐标。然后调用MAT_LAB最 优函数fminunc

10、求得F(x)的最小值Fmin即是满足最小区域的原新坐标值的圆度误 差。在设定初始值时，我们利用MATLAB中数组均值函数mean(X)求得x,y的平 均值,作为初始圆心坐标。4测量在GlobalFX777型三坐标测量机上对v6315mm的圆孔的圆度误差进行实测。为便 于比较3种评定方法的结果,用三坐标对被测实际圆周上的点进行自动数据采样时, 采样点在圆周上呈均匀分布，采样点数目为50点。测量时z坐标保持不变,x、y采 样点坐标值如表1。评定结果如表2。(11)表1x(mm)采样点数据29913951,29911442,29813971,29711650,29514685,27315960,26

11、916423,26516542,26 116981,25718362,23811293,23618972,23611522,23519090,23611521,25016365,2541 1366,25718364,26116987,26516543,29017923,29313311,29514683,29711659,298139 74,29313315,25411322,23618972,26916444,29911443 29017932,25016361,23811293,27315963, 28718841,24714145,23918262,27714587,28416582,2

12、4415045,24119633,28111648,28111641,24119633,24415042,28416582,27714580,23918266,24714124,28718842,y(mm)1211313,1611142,2010263,2318185,2714254,3017927,3318648,3615935,3819364,401 8572,4213253,4313164,4318162,4318161,4313164,4213250,4018570,3819368,361593 5,3318646,3017922,2714251,2318184,2010265,161

13、1177,1211316,811527,412364,014 443,-311633,-615344,-916020,-1213318,-1416746,-1615954,-1810632,-1910541,- 1915542,-1915543,-1910541,-1810634,-1615950,-1416744,-1213313,-916025,- 615334,-311635,0i； 1OQ4-201Z Cliina14442,412363,811524表2最小二乘法圆心坐标(mm)评定结果(mm)267164811211312010117圆度误差评定结果区域搜索法圆心坐标(mm)评定结

14、果(mm)267165161211291010099评定结果(mm)最优函数法圆心坐标(mm)2671646312112930101045结论给出圆度误差评定的最小二乘法、最小包容区域法和最优函数法的数学模型，并对 3种评定方法的算法模型与实现方法进行比较;在三坐标测量机上对给定圆进行数 据采集，并用3种方法评定。结果表明:最小包容区域法评定精度最高，最优函数法 次之，评定结果约为最小包容区域法的1105倍,但其算法简便、运算时间短，值得推 广,最小二乘法评定精度最低，可用于精度要求不高的场合。参考文献1王中宇，胡新生,施保昌，等1圆度误差的不可微优化算法及其测量系统J1仪器仪表学报,1997,18:330-333胡新生，周济，等1形位误差非线性模型的统一判别准则与算法Jl 计量学报,1997,18(1):11-16刘永超，陈明1形位误差的进化算法J1计量学报,2001,22 (1):18-22林雪松，林德新，周婧1MATLAB710应用集锦M1机械工业 出版社,2005,81133-166# 65#