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1、 数学模型的课程设计 设计题目：赛 跑 速 度 班级 ： 组员 ： 课程设计任务书专业： 班级： 课程名称： 赛跑的速度 学生姓名： 发题时间： 2013 年 7 月 1 日一、 课题名称：赛跑的速度二、 课题条件参考文献：1张天详中长跑有氧训练的生化基础训练原则及方法宝鸡文理学院学报，19962衣春林，李美贞赛跑最优速度的数学模型与应用山东工商学院学报，20013郑寿炳中长跑最优速度控制的数学模型体育与科学，19954姜启源.数学模型(第三版).北京：高等教育出版社，20035赵静，但琦.数学建模与数学实验（第二版）. 北京：高等教育出版社，2003 赛跑的速度摘 要本文针对赛跑运动员赛跑过
2、程中如何安排各阶段的速度才能取得最好的成绩，进行了详细的研究和分析，并对T.B.Keller提出的模型进行了改进。首先我们对美国著名数学家凯勒(TBKeller)提出的赛跑最优速度模型进行学习和分析，指出模型存在的缺陷和问题产生的原因。在短跑过程中要以运动员的最大冲力跑完全程，然而运动员本身能提供的最大冲力并不能保持恒定，受到冲力限制系数的约束，因此在我们改进后的模型中将其考虑在内进行理论推导。在长跑过程中既需要有氧呼吸功能，又需要无氧呼吸功能，而且在加速跑过程中运动员始终保持最大冲力加速多久不能确定，且在加速跑过程中不减速，与实际情况不符；而且由于海拔不同而使运动员在赛跑过程中氧摄入量的差异
3、，从而导致单位时间提供的能量不同。鉴于原始模型的缺陷，我们改变了模型整体的推理方法并设计了新的基于参数实时采集的速度最优模型，在短跑过程中将最大冲力恒定值替换为与事件有关的函数，并且将单位时间内提供的能量设定为海拔高度的一次函数，并根据前人的研究成果确定该函数。在长跑过程中为了避免传统模型出现的弊端，我们对一些实际中长跑训练进行了调查、分析和研究，保留了传统理论的方程结构和参数拟合方法，以此为基础提出了新的长跑最优理论模型，将长跑分为：起步、加速跑、途中跑、冲刺跑四个阶段，并且通过Matlab在计算机上进行最小二乘拟合，模拟仿真，分析仿真结果以优化推理方法，最终得到了预期的理论结果，并验证了模
4、型的可靠性。关键字：短跑、中长跑、最小二乘拟合、海拔高度一、问题重述与提出：赛跑运动员在参加赛跑时，要根据自己的生理状况对赛程中各阶段的速度做出最恰当的安排，以期获得最好的成绩。赛跑运动员应该根据不同长度的比赛采用不同形式的功能方式，在比赛过程中由于海拔、阻力等因素的影响，比赛过程中的速度也会不同，如何合理的根据不同情况，采取不同的方式赛跑才能取得最好的成绩。根据如下因素建立合理的数学模型，推导出速度安排的合理方案：1、运动员的生理参数（包括脉搏、体温等与长跑有关的生理指标）；2、赛跑运动员赛跑适时速度；3、当前环境参数（包括温度、风速、海拔等诸多影响速度的因素）；4、运动员不同程度赛跑的供能
5、方式（包括有氧呼吸、无氧呼吸等）；根据以上方四方面内容，再结合实际训练结果，设计合理的模型。二、问题分析：长跑归根结底是一个体能消耗的问题，当专业运动员竞技水平达到一定程度后，选手之问的体能总量差距已经不是很明显了，于是如何控制节奏以自身习惯合理分配体能，以最短的时间完成比赛就变成了长跑运动员取得优异成绩的关键所在。这和以专家提出的：“掌握比赛，控制节奏”的战术思想是相一致的，经过上述分析，在最优速度运动模型的设计中考虑以下3点：1)运动员在每一时刻体能的变化由两部分组成：糖的无氧酵解产生的能量和运动员在运动过程中所消耗的能量，其中认为运动员自身产生的能量在整个运动过程变化不是非常明显可认为是
6、定值。2)根据牛顿第二定律：，即运动员所受的外力与加速度成正比。运动员在运动时受到自身向前的冲力和阻力共同作用，形成运动员向前的动力正比于加速度。其中：阻力又可以分为体内生成的阻力和体外由于自然原因形成的阻力(如：风阻)，这些阻力都与速度成正比。3)分析运动员单位时间消耗的能量可知，消耗能量的大小和运动的速度有关，另一方面还与速度的变化有关通俗点讲就是跑的越快，耗能越大；跑速变化越频繁，耗能也越大。而且可以根据实际训练经验和已知的数据计算出两者各自对于体能消耗的“边际贡献”各为多少，给两者设定不同的权数，结合体内单位时间生产的能量即可列出体能变化方程。依据以上思路，长跑运动的最优速度模型拟解决
7、的问题即可转化为：“如何合理分配每一时段消耗的体能，使得完成规定赛跑路程所用时间最短，比赛成绩越好”。而每一时段体能的变化又与当时的跑速及跑速变化情况有很大关系，运动员在不同的比赛中对于速度变化曲线的要求也是不相同的，当实际速度与理想速度之间存在速度差时采取什么方式加速(减速)，能够以更合理的体能消耗方式完成比赛就成为重点研究的对象。使运动员在顺利完成比赛的前提下，以最优的体能消耗和最好的成绩完成比赛，就是该模型需解决的问题。三、模型假设： 根据对传统模型的分析得知，长跑运动是一项集力学，生物学，空气动力学，机械学等多方面知识的综合运动，最优速度模型也是物理、生物、数学、计算机等多学科的有机结
8、合，而不是仅通过数学模型就可以完全描述的。但传统模型却试图通过纯粹的数学推导来描述这一整个运动过程，最终因为运用泛函求极值这样复杂的数学方法使得实现性降低，同时由于无法顾及事物的多方面造成过于理论化的数学模型脱离实际，与实际情况严重不符。考虑到这些情况，我们对模型进行了一些有效的假设，通过假设使模型关注于解决对实际比赛更有意义的问题，这样对模型的推导和实际的应用将有所帮助。假设1：跑步过程中的外部因素对速度的影响与当前速度成正比，比例系数为。由于其中风力为最主要影响因素，则可以根据实测风力修正系数；假设2：赛跑过程中的内部因素产生阻力对速度的影响与速度成正比，比例系数为。由于其中以体温为主要衡
9、量指标，可以通过体温变化修正系数；假设3：赛跑前运动员的体能总值为恒定值，赛跑时体内单位时间内生成的能量为海拔高度的函数，为处于海平面时体内单位时间内生成的能量，并且研究表明，每上升1000米最大摄氧量下降约6%，即。由于运动员初始能量和单位时间产生的能量所处的数量级与模型的正确与否关系不大，模型的精确性主要依靠体能模型中对于不同体能消耗原因的“边际贡献”定义合适的权值；假设4：根据具体训练目标和训练计划，事先确定此次训练的成绩，即确定目标时间。由于不同的训练目标对于运动员的要求不相同，即使相同训练目标对于比赛的不同时期也不尽相同。速度最优模型中的“最优”一定基于某一个特定的比赛目标，放置比赛
10、不顾而空谈最优速度，只会使模型脱离实际而无法实际应用；假设5：根据经验，事先确定加速跑阶段的运动员跑步冲力范围，通过终端监测运动员速度变化，和阻力参数的变化得出实时冲力，假设运动员在起跑后的一段时间内以接近最大冲力进行加速跑，当冲力下降到预期值并达到一定速度之后过渡进入途中跑阶段；假设6：根据教练员实际经验结合运动员具体情况，事先确定进入冲刺跑阶段所需要剩余的能量。和计划冲刺时所剩余的距离。或者冲刺开始时刻。同样道理，冲刺跑阶段运动员将在何时加速，以何种加速度进行加速是应该事先有所准备，依据当时的体能情况和对手情况分别对待，一味将最后的冲刺阶段引入模型效果往往适得其反；假设7：由于以上参数因人
11、而异，特别是与运动员的体重有关，为了消除这个因素的影响，我们对运动员进行单位建模，即以下设运动员质量。四、符号约定： ：外部阻力系数；：内部阻力系数；： 体能总和； ： 海拔高度；：处于海平面时体内单位时间内生成的能量；：不同海拔高度单位时间生成的能量；：目标时间；：加速阶段跑步冲力；：实时冲力；：最大冲力；：赛跑前体能总量；：冲刺跑阶段所需要剩余的能量；：计划冲刺时所剩余的距离；： 冲刺开始时刻；：储存于体内的能量；：冲力限制系数；：速度函数；：带量纲比例系数； ：途中跑过程中理想速度。五、模型建立与求解：、短跑模型当赛程较短时运动员可以用每一时刻的最大冲力跑完全程，这必然会取得最佳成绩。至
12、于多长的赛程才能用这种方法跑，应以储存于体内的能量不小于零为标准，由参数决定。假设运动员克服生理限制后能发挥的最大冲力满足，其中，是冲力限制系数，为初始时的最大冲力；因此通过解该微分方程组可以得到，（1）又由于短跑时持续时间较短，运动员体内温度变化可以忽略不计，因此短跑时的内部阻力可以近似看作零，只有外部阻力的作用。则由Newton第二定律得，求解得，（2）再考虑运动员体内能量的变化，其变化率为单位时间提供的能量与消耗的能量之差，即：再联合（1）（2）解得， （3）设当时，则在这种情况下运动员所能跑的最远距离为 计算得， （4）根据某届奥运会男子百米决赛前六名在比赛中到达距离s与所用时间t（详
13、表见附录一），运用Matlab软件的最小二乘拟合（代码见附录二）求出参数：1.845；43.4；7.32；由于赛跑前运动员的体能总值和处于海平面单位时间体能恢复值的大小对最终建模的结果影响不大，可以根据传统模型所描述的设定关于体能的两个值： =3000 =41.1877将以上参数代入（3）式，令，针对不同比赛地点可直接将其海拔高度代入求解，在这里我们不妨取=0，运用Matlab工具求解此非线性方程（代码见附录三）得：22.8568再将其代入（4）式可以求得：215.26m即在海平面上，当赛跑距离小于215.26m时，用每一时刻的最大冲力跑完全程是可行的，并且能够取得最佳成绩。而当赛跑距离大于2
14、15.26m时，则需要将其看作中长跑进行进一步的研究。、中长跑模型1、修正后的速度模型建立：针对传统模型体能变化的不合理之处，保留传统模型中的方程结构和模型中一些初始参数拟合方法，重新评估体能模型并做出修正，新的模型推导如下：由积分学理论知，比赛距离： （5）现在问题归结为，当和已知的情况下，如何分配不同时刻的，使得公式(5)成立，模型以运动员速度与体能变化率的影响因素为基础展开讨论。1)速度的变化情况受赛跑时运动员自身的冲力和来自体内和体外阻力、的影响，设运动员的冲力为，由牛顿第二定律，即得： （6）其中：和为内部、外部阻力系数；式中是由运动员自身控制的，运动员可以通过速度的变化调整冲力，但是受到运动员自身所能发挥的最大冲力的限制，即有， 。2)体能的变化率为单位时间体内恢复能量与消耗能量之差，单位时间消耗体能取决于：冲力与速度的乘积，和运动员的速度变化有关，假设带量纲比例系数分别为和，可得： （7）速度模型的建立和传统模型相似，借鉴了传统模型中运用牛顿第二定律的思
