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1、圆的相关知识 最好配以简单的习题掌握刘蕾老师整合板块一：圆的有关概念一、圆的定义：1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成 的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径.2. 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径3. 圆的表示方法：通常用符号。表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“0O ”，读作“圆O ”.4. 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等二、弦和弧1. 弦：连结圆
2、上任意两点的线段叫做弦2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的圆弧记作AB，读作弧AB .5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形三、圆心角和圆周角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1。的圆心角，我们也称 这样的弧为1。的弧圆心角的度数和它所对的弧
3、的度数相等.2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90。的圆周角所对的弦是直径推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相 等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量分别相等板块
4、二：圆的对称性与垂径定理一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2. 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧3. 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等板块三：点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系 点与圆
5、的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径 的大小关系决定设0O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，贝0有：点在圆外o d r ；点在圆上o d = r；点在圆内o d r o点P在00的外部.点在圆上点在圆周上d = r o点P在00的圆周上.点在圆内点在圆的内部d 4)个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的 圆心.3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.注意：“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； “确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”.4. 三角形的外接圆经
6、过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫 做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形外心的性质：三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却 有无数个，这些三角形的外心重合.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆 半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.板块四：直线和圆的位置关系一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设0O的半径为r，圆心O到
7、直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表:位置关系图形定义性质及判定相离d直线与圆没有公共点.d r o直线l与GO相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，唯一公共点叫做切点.d = r o直线l与GO相切相交A直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线.d r o直线l与GO相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r的关系d r公共点名称交点切点无直线名称割线切线无二、切线的性质及判定1. 切线的性质:定理:圆的切线垂直于过切点的半径推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论 2:经过切点且
8、垂直于切线的直线必经过圆心2. 切线的判定定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线3. 切线长和切线长定理: 切线长:在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线 的夹角三、三角形内切圆1. 定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫 做圆的外切三角形2. 多边形内切圆:和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做
9、圆的外切多边形板块五：圆和圆的位置关系一、圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设0OO的半径分别为R、r （其中Rr ）,两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表:12位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上 的点都在另一个圆的外部.d R + r o两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这 个公共点之外，每个圆上的点都在 另一个圆的外部.d R + r o两圆外切相交两个圆有两个公共点.R 一 r d R + r o两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这 个公共点之外，一个圆上的点都在 另一个圆的内部.d R r o两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上 的点都在另一
10、个圆的内部，两圆同 心是两圆内含的一种特例.0 d R 一 r o两圆内含说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来 分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两 圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况二、两圆的连心线1. 定义：通过两圆圆心的直线叫做连心线2. 性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上; 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦三、两圆的公切线1. 定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线外公切线：两个圆在公切线同侧时，这样的公切线叫做外公切线； 内公切线：两个圆在公切
11、线两侧时，这样的公切线叫做内公切线2. 公切线条数与两圆的位置关系 若两圆外离，则外公切线条数为2，内公切线条数为2，公切线总数为4； 若两圆外切，则外公切线条数为2，内公切线条数为1，公切线总数为3； 若两圆相交，则外公切线条数为2，内公切线条数为0，公切线总数为2； 若两圆内切，则外公切线条数为1，内公切线条数为0 ，公切线总数为1； 若两圆内含，则外公切线条数为0，内公切线条数为0，公切线总数为0；3性质：（1）若两圆有两条外（内）公切线，并且相交，则两圆的连心线必经过交点且平分这两条公切线 的夹角； 若两圆外切，则两圆的连心线垂直两圆的内公切线；若两圆内切，则两圆的连心线垂直两圆 的外公切线特别地，若两圆为等圆，则它的两条外公切线均与连心线平行4. 公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长5. 公切线长定理：两圆的两条外公切线的长相等，两条内公切线的长也相等板块六：与圆有关的计算设0O的半径为R , n。圆心角所对弧长为l,1. 弧长公式：l = nnR1802. 扇形面积公式：S = nR2 =1 lR扇形 360 23. 圆柱体表面积公式：S = 2nR2 + 2nRh4. 圆锥体表面积公式：S = nR2 + nRl（ l为母线） 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：公式法；割补法；拼凑法；等积变换法
