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1、立体几何第二讲：空间几何体的面积、体积一基础知识1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和.2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图坤昉 :侧面积公式S圆柱侧=时S圆锥侧二田S 圆台侧= n(rir2)l3.柱、锥、台、球的表面积和体积、名称几何体、表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S=S +2S表面积侧底V=Sh锥体（棱锥和圆锥）S=S +S表面积侧底V=3Sh台体（棱台和圆台）S=S +S +S表面积侧上下Ts上+s下+近卩球S=4n&4V=nR3二经典案例案例一：（2018全国I）已知圆柱的
2、上、下底面的中心分别为O1, O2,过直线o1o2的平面截该圆柱所得的D 10n截面是面积为 8的正方形，则该圆柱的表面积为（A 12、；2nB 12nC & ；2n解析 设圆柱的轴截面的边长为X,则由X2 = 8,得x=22 S圆柱表=2S底+S侧=2X nX（、/2）2+2 nX寸2X2詁2=12 n.（2017全国II）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何 体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）正视A 90nB 63nC 42nD 36n解析（割补法）由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全
3、，并将圆柱从点力处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上 部分圆柱体积的2，所以该几何体的体积V=nX32X4+nX32X6X：=63n.故选B.A.6B.4解析 由三视图知该几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱（如图），且挖去的三棱柱的髙为1,底面是边长为2 的等腰直角三角形，故几何体体积V =23；X2X2X1=6.a.16TC169解析 由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为2的正方形为底面，髙为2的四棱锥，其体积为18 1V=3X2X2X2=3；右侧为一个直三棱柱，其底面如俯视图所示，髙为2,其体积为V2=2X2X2X2=4,8 20所以该几
4、何体的体积为V= 7 +匚=3+4=丁，故选B.2侧视图解析如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1,四棱锥的髙为球的半径，四棱锥的 底面为等腰梯形，上底为2,下底为1,髙为所以该组合体的体积v hlxlxQ+Dxxi+lxxxf+n.案例二:（2019长春东北师大附中模拟）一个棱锥的三视图如图所示，贝y这个棱锥的外接球的表面积为（）A 34nB 25nC 41nD 50n解析根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、髙分别是4, 3, 3的长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以有 R=已
5、知直三棱柱ABC-ABC 的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3, AC=4, ABYAC, AAi = 12，则球O的半径为（）A.耳7b. 2 10C.123D 3 10解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又 AM=：BC=2，OM=2aA = 6,7513所以球O的半径人=OA= /|2+62=百.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA丄平面SCB, SA=AC, SB=BC,三棱锥S-ABC的体 积为9则球O的表面积为.解析 如图，连接OA, OB,因为SA=AC, SB=BC, SC为球O的直径，所以OA丄SC, O
6、B丄SC.因为平面SAC丄平面SBC,平面SACA平面SBC=SC,且OA 平面SAC,所以OA丄平面SBC.设球的半径为丫，则OA = OB=r, SC=2r, 1 11 1所以 Vasbc32 X 2 X ” X ” 3 所以；丫3 = 9r=3,所以球的表面积为4nr2 = 36n.（2019 昆明诊断）如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上, ABC和DBC所在的平面互相垂直，AB=3, AC=、：3,BC=CD=BD=23，则球O的表面积为（）BAA4nB.12nC16nD36n解析 如图所示，.AB2+AC2=BC2, :.ZCAB为直角，即ABC外接圆的圆心为BC的
7、中点O.ABC和ADBC 所在的平面互相垂直，则球心在过ADBC的圆面上，即ADBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心 和外心重合，易得球半径R=2，球的表面积为S=4nR2=16n.某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1,则该几何体的外接球的体积是000兀 12 1 B.rA.H,T十l + nI:H口 “TUT丄I J14 图J_l_ 觇十,- Mr-H丄Jr I rdr Hi T flr IT 1hrITT J;-图一十视一解析 该几何体是如图所示的三棱锥PABC,三棱锥的髙PD=6, 且侧面 PAC丄底面 ABC, AC丄BC, PA=PC=、/42干62=52,
8、 AC=8, BC=6, AB=：8干62= 10,:.ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点E,设该几何体的外接球的球心为O, OE丄底面ABC,、（105设OE=x,外接球的半径为人，则兀2 + 创2 = 32 + （6兀）2，解得x=j.f5A,250 *. R2 = |jj2 + 52 = -, 外接球的体积V=3XR3=5 0殳:;1兀.一张矩形白纸 MCD, 48=10,仙=10护,E, F分别为AD, BC的中点，现分别将AABE, CDF 沿BE, DF折起，且A, C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号）. 当平面4BE平面CDF , AC平面BFDE；
9、 当平面ABE平面CDF , AEHCD； 当A, C重合于点P时，三棱锥P-DEF的外接球的表面积为150n解析 中，易知A, C到平面BFDE的距离相等,AC平面BFDE正确； 中，平面ABE平面CDF时,AE与CD异面,AE/CD不正确； 中，三棱锥 PDEF 中，DE=5-孕,EF=10, DF=、DC2 + CF2 =、回,即DE2+EF2=DF2, DEF为直角三角形，同理，ADPF为直角三角形，且DF为公共斜边，故DF即为外接球直径，其半径人=竽=丄罗,故球的表面积S=4nR2 = nDF2=150n,正确.三练习（课后作业）1. 我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅，提出了著名
10、的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是面 积，“势”即是高，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果 截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示三视图对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）B.8nD42A.8丁C.8丁2. 中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344 年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若n取3,其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A.1.2B.1.6C.1.8D.2.43. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等
11、腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2 和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为()A.7 nB.8 nC.9 nD.10 n4.在三棱锥PABC中，已知PA丄底面ABC, ZBAC=60,PA = 2,AB=AC=.,/3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.4n丁C.8 nD.12 n5.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A.13俯视图B.14C.15D.166.我国古代数学名著九章算术对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见， 譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱如图为一个“堑堵”，即 三棱柱ABC
12、ABC，其中AC丄BC 已知该“堑堵”的高为6，体积为48，则该“堑堵” 的外接球体积的最小值为.7. 已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC满足AB=2O,/ACB=90。, PA为球O的直径且PA = 4,则点P到底面ABC的距离为（）A2B.2一学C.护D2J38. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3,/2的正方形,AA1 = 3, E是线段AB上一点，若二面角ABDE的正切值为3,则三棱锥AA1D1E外接球的表面积为.ACF四参考答案1. 解析 由三视图知几何体是棱长为 2 的正方体挖去一个底面半径为 1，高为 2 的半圆柱后剩余部分.2. 解析由
13、三视图知，商鞅铜方升是一个圆柱和一长方体的组合体.依题意，得3(5.4x)X1+ nj兀=12.6，解得x=1.6.3解析由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，如图三棱锥PABC，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，易知外接球的直径2R=;22+12 + 22 = 3, 故 S 球=4nR2 = 9n.4解析由题意可得，ABC为等边三角形，边长为羽，PA丄底面ABC,则该三棱锥的外接球就是以ABC为底面，PA为高的三棱2柱的外接球.ABC外接圆的半径为3sin 60 = 1.PA = 2,球心到ABC外接圆圆心的距离为1,外接球的半径为R=12+12=.2，外接球的表面积S=4nR2 =
14、8n.5解析 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCDABCD所示,3长方体的长、宽、高分别为4, 2, 3,两个三棱柱的高为2,底面是两直角边长分别为3和的直角三角形，13故该几何体的体积7=4X2X32X2X3X2X2=15.6解析以C为顶点，把三棱柱补成长方体，设其外接球的半径为人，则(2R)2=AC2+BC2+CC? = 36+AC2+BC2,1厶又V 一 ”云厅ACBCCC =48,知ACBC=16,二棱柱21AC2+BC22ACBC=32.则(2R)2的最小值为68,所以Rmin=/17.此时外接球的体积为芥(护川护兀7解析 取AB的中点O,连接OO1，如图，在ABC中，AB=22 ZACB=90,所以ABC所在小圆圆O1是以AB为直径的圆, 所以O1A=:2，且OO丄AO1，又球O的直径PA = 4,所以OA = 2，所以OOpOA二0=盪，且OO丄底面
