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1、高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法课时训练含解析新人教A版必修4【课时目标】经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体 会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.知识梳理i.向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共线)的等价条件：a/ b(bw。)？(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量 a, b, ab? ? . 求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos 9 =(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|=2
2、.直线的方向向量和法向量(1)直线y= kx+b的方向向量为 ,法向量为 .(2)直线Ax+ By+ C= 0的方向向量为 ,法向量为 .作业设计一、选择题1.在ABC43,已知 A(4,1)、R7,5)、C( -4,7),则 BC边的中线 AD的长是()A. 2事B.2/5C . 3木D.2/52 .点O是三角形 ABC所在平面内的一点，满足 OA- OB=OB- OC= OC- 6A则点O是 ABC 的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点3 .已知直线l1： 3x+4y12=0, I2： 7x+y28=0,则直线l 1与12的夹角是
3、()A. 30B . 45C. 135 D , 1504 .若。是 AB所在平面内一点，且满足| OB- OC= I O跳OO 20A ,则 ABC勺形大是()A.等腰三角形B .直角三角形C.等腰直角三角形D .等边三角形5 .已知点 N尊 1) , R0,0) , C(V3, 0),设/ BAC的平分线 AE与BC相交于E,那么有BC=入CE其中入等于()A. 2 B. 1 C .-3 D .-1 23AB AC AB AC 16.已知非零向量 ABfA。荫足 + BC 0且=-,则 ABC勺形状是I AB I ACI AB I AC 2()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰(
4、非等边)三角形D.等边三角形题号123456答案二、填空题7.如图，在 ABC,点O是BC的中点，过点 O的直线分别交直线 AB AC于不同的两点 M N,若 AB= mAM AC= nAN 则 M n 的值为.8 .已知平面上三点 A B C满足 | AB = 3, | BC =4, | CA =5.则AB bct BC CavCav Ab=9 .设平面上有四个互异的点A B C、D,已知(DM DC- 2丽( AB- AC) = 0,则ABCW形状一定是.10 .在直角坐标系 xOy中，已知点A(0,1)和点R3,4),若点C在/AOB勺平分线上且| Oc | =2,则 OC=.三、解答题
5、11 .在 ABC, A(4,1) , B(7,5) , C(-4,7),求/ A 的平分线的方程.12 . P是正方形 ABCD寸角线BD上一点，PFC时矩形.求证：PA= EF且PA!EFI能力提升：13 .已知点 Q N, P在ABO在平面内，且 |OA = |Ob=|Oc, N廿 NbmNC= 0, PA- PB=PB-咯P P则点O, N, P依次是 ABC()A.重心、外心、垂心 B .重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D .外心、重心、内心 14.求证： ABCW三条高线交于一点.反思感悟1 .利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几
6、何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系， 求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.2.在直线l : Ax+ By+ C= 0(代+百金0)上任取两点 Pi(xi, yi) , B(x2, y2),则PP(入C R且 入W0)也是直线l的方向向量.所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线.同理，与直线l : Ax+ By+ C= 0(A2+B2w0)垂直的向量都叫直线 l的法向量.一条直线的法向量也 有无数多个.熟知以下结论，在解题时可以直接应用.y=kx + b的方向向量 v=(1,k),法向量为
7、n=(k, 1).Ax+By+ C= 0(芥+甘金0)的方向向量 v=(B, A),法向量n=(A, B). 2.5平面向量应用举例2. 5.1平面几何中的向量方法答案知识梳理1. (1) a=入 b xiy2-x2yi = 0a - bxix2+ yiy2= 0面鬲xix2+ yiy24x2+ y2 x2+ y2(4) ,x2+y22. (1)(1 , k)(k, -1)(2)( B, - A)(A, E)作业设计351. B BC中点为 D2, 6 , AD= 2, 5 ,-I AD| =2V5._ f 2. D OA OB=OB- OC一 一 一( OA- OC - OB= 0.-.Ob
8、- CA= o. OBLAC 同理 OAL BC OCLAR.O为垂心.3. B 设li、l2的方向向量为vi, V2,则vi = (4, 3), V2=(1 , -7),|cos Vi , V2| =| vi - V2| _25 也1 Vi| - I V21 -5x 降一2 . .l i与12的夹角为45 .4. B I OB- OC=|CB = |AB- AC,|OBOC- 2OA=| AB+ACI : .I Ab- AC| =| Ab+ AC|, 四边形 ABDO矩形，且/.ABC直角三角形.5. CBAG= 90 ./ AEC= 60 , CE=率3如图所示，由题知/ ABG= 30厘
9、=3ICE 3. BC= 3CEAb Ac6. d 由 十 BC= 0, I AB I AC，曲 Ac 一一 而=cosAB A。=得角A的平分线垂直于BC AB= ACI Ae| AC故ABE正三角形，选7. 2解析 :。是BC的中点,2,又Ah Ab e 0 BAC= 60D.Ab= 2(超 ACm m 八7n，MO= AO- AMh (万一1)AMb,AN _又MN= AN- AM MIN/ MO，存在实数入，使得Mo=xMnn2=)化简得n= 2.8 . 25解析ABC, B= 90 , cos.AB- BC= 0, BC- CA= 4X5X3A= 一，cos 5-4 =-165Ca-
10、 Ab= 5X3X -3 =- 9.5.AB- BO BC- CA+ CA- AB= 25.9 .等腰三角形解析 -.(Db+ DC- 2DA(AB- AC) 一 一一 一 ，=(DB- DA + ( DC- DA . ( AB- AC=(超丽-( ab5-ac)= ab2-XC2=1 2| 丽2=0,.|丽= |AC ,ABB等腰三角形.10 _亚0处5，5解析已知 A(0,1) , B( - 3,4), 设日0,5) , D 3,9), 四边形OBDE;菱形. / AOB勺角平分线是菱形 OBDE勺对角线OD设 C(xi, yi), |Od = 3W，2 00=OD3.10即O 0=2 y
11、l)=3vx(-3,9) = ;110 3. 10 105 ，3、105，11.解AB= (3,4) , AC (-8,6),/A的平分线的一个方向向量为：AbAcI AB IA035,4 3g 55.一/A的平分线过点A所求直线方程为-715(x-4)-5(y-1) = 0.整理得：7x+y29=0.12.证明 以D为坐标原点,D0所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1, | Dp =入，则A(0,1),P手,手,E1，g，呼入,0，于是PA=乎入，1乎入，EF= 考人T,一乎入 pa=7当入t 2+ _当入2=a入+1,同理由=y1二木人+1,.|
12、 丽=|由，PA= EF二函乱岑号1 + 1乎入乎入=0,.PAiEf. .-.palef13 . C如图，: Nv幅心0,N为 ABC勺重心.- NB+ 他 一NA依向量加法的平行四边形法则，知 |nA|=2|而,- . PA- Pb=Pb- PC,- ( PA- PC PB= CA PB= 0.同理AB. PC= 0, Bb PA= 0,，点P为ABC勺垂心.由 OA = OB = Oc ,知点o为乙abc勺外心.14 .证明如图所示，已知 AD BE, CF是 ABC勺三条高. 设BE CF交于H点，令AB= b, AC= c, AH= h,则BH= h-b, CH= h-c, Bb= c-b. . BHi AC CHl Ab,1.( h -b) c=0, (h-c) b=0, 即(h b) c= (h-c) b整理得 h (cb) = 0, . Ak BC= 0.AHIBC .AHfADM线.AD BE CF相交于一点H.
