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1、高考数学一轮复习（十一）排列组合一、排列组合的基本概念及计算1排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列2排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示3排列数公式：（）4阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定5排列数的另一个计算公式：= 6组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合7组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示8组合数公
2、式：或9 组合数的性质1：规定：；10组合数的性质2：+ 二、排列组合的常见题型及其解法 （1）特殊元素（位置）用优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 解：因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：480（种）（2）相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑
3、法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有种，然后女生内部再进行排列，有种，所以排法共有： / （种）。（3）相离问题用插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有种，所以排法共有：（种）（4）定序问题
4、用除法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有种排列方法。 例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？ 解：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有： （个）（5）分排问题用直排法 对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。 例5. 9个人坐成三排，第一排2
5、人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？ 解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。（6） 住店求幂法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例6.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法（7） 排列、组合综合问题用先选后排的策略 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，
6、后排列。 例7. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？ 解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：（种）。因此共有36种方案。（8）隔板模型法 常用于解决整数分解型排列、组合的问题。 例8. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？ 解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：（种）
7、（9）平均分组问题除法策略例9. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 解: 共有种分法。（10）数字排序问题查字典策略例10由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？解:随堂简单练习1 从集合0，1，2，3，5，7，11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条(用数值表示) 2 圆周上有2n个等分点(n1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_ 3 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方
8、法？4 二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c，在集合3，2，1，0，1，2，3，4中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？5有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数 (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置 (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边 (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起 (4)全体排成一行，男、女各不相邻 (5)全体排成一行，男生不能排在一起 (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变 (7)排成前后二排，前排3人，后排4人 (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人 6 20个不加区别的
9、小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数 7 用五种不同的颜色，给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相邻部分涂不同色，则涂色的方法共有几种？8 甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为多少？参考答案解析 因为直线过原点，所以C=0，从1，2，3，5，7，11这6个数中任取2个作为A、B两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A=30 答案 302 解析 2n个等分点可作出n条直径，从中任选一条直径共有C种方法；再从以下的(2n2)个等分点中任选一个点，共有C
10、种方法，根据乘法原理 直角三角形的个数为 CC=2n(n1)个 答案 2n(n1)3 解 出牌的方法可分为以下几类 (1)5张牌全部分开出，有A种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；(3)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有CA种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有A种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有CA种方法 因此，共有不同的出牌方法A+A+A+AA+A+CA=860种 4 解 由图形特征分析，a0,开口向上，坐标原点在内部f(0)=c0;a0,开口向下，原点在内部f(0)=c0,所以对于抛物线y=ax2+bx+c来
11、讲，原点在其内部af(0)=ac0,则确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b,故满足题设的抛物线共有CCAA=144条 5 解 (1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择 有A种，其余6人全排列，有A种 由乘法原理得AA=2160种 (2)位置分析法 先排最右边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排有A种，但应剔除乙在最右边的排法数AA种 则符合条件的排法共有AAAA=3720种 (3)捆绑法 将男生看成一个整体，进行全排列 再与其他元素进行全排列 共有AA=720种 (4)插空法 先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有AA=144种 (5)插
12、空法 先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA=1440种 (6)定序排列 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此A=NA，N= 840种 (7)与无任何限制的排列相同，有A=5040种 (8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有AA 最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可 共有AAA=720种 6 解 首先按每个盒子的编号放入1个、2个、3个小球，然后将剩余的14个小球排成一排，如图，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15个空
13、档，其中“O”表示小球，“|”表示空档 将求小球装入盒中的方案数，可转化为将三个小盒插入15个空档的排列数 对应关系是 以插入两个空档的小盒之间的“O”个数，表示右侧空档上的小盒所装有小球数 最左侧的空档可以同时插入两个小盒 而其余空档只可插入一个小盒，最右侧空档必插入小盒，于是，若有两个小盒插入最左侧空档，有C种；若恰有一个小盒插入最左侧空档，有种；若没有小盒插入最左侧空档，有C种 由加法原理，有N=120种排列方案，即有120种放法 7 解 按排列中相邻问题处理 (1)(4)或(2)(4) 可以涂相同的颜色 分类 若(1)(4)同色，有A种，若(2)(4)同色，有A种，若(1)(2)(3)
14、(4)均不同色，有A种 由加法原理，共有N=2A+A=240种 8 解 每人随意值两天，共有CCC个；甲必值周一，有CCC个；乙必值周六，有CCC个；甲必值周一且乙必值周六，有CCC个 所以每人值两天，且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表数，有N=CCC2CCC+ CCC=90256+12=42个 练习题一、 选择题1某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种2、某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种3如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不同的涂色方法共有（A） 288种 （B）264种 （C） 240种 （D）168种4、现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是 A 152
