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1、 目 录0360间的三角函数典型例题分析2弧度制典型例题分析3任意角的三角函数典型例题分析一5任意角的三角函数典型例题精析二8同角三角函数的根本关系式典型例题分析诱导公式典型例题分析用单位圆中的线段表示三角函数值典型例题分析三角公式总表正弦函数、余弦函数的图象和性质典型例题分析3函数y=Asin(wx+j)的图象典型例题分析正切函数、余切函数的图象和性质典型例题分析三角函数值求角典型例题分析全章小结高考真题选讲0360间的三角函数典型例题分析例1 角的终边经过点P(3a，-4a)(a0，0360)，求解的四个三角函数解 如图2-2：x=3a，y=-4a，a0例2 求315的四个三角函数解 如图
2、2-3，在315角的终边上取一点P(x，y)设OP=r，作PM垂直于x轴，垂足是M，可见POM=45注：对于确定的角，三角函数值的大小与P点在角的终边上的位置无关，如在315的角的终边上取点Q(1，-1)，计算出的结果是一样的弧度制典型例题分析角度与弧度的换算要熟练掌握，见下表例2 将以下各角化成2k+(kZ，02)的形式，并确定其所在的象限。它是第二象限的角注意：用弧度制表示终边一样角2k+(kZ)时，是的偶数倍，而不是的整数倍A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限sin0，tg0因此点P(sin，tg)在第四象限，应选D解 M集合是表示终边在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集合N
3、集合是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集合任意角的三角函数典型例题分析一 例1 角的终边上一点P(-15，8)(R，且0)，求的各三角函数值分析 根据三角函数定义来解A1 B0C2 D-2例3 假设sin20，且cos0，试确定所在的象限分析 用不等式表示出，进而求解解 sin20，2在第一或第二象限，即2k22k+，kZ)当k为偶数时，设k=2m(mZ)，有当k为奇数时，设k=2m+1(mZ)有为第一或第三象限的角又由cos0可知在第二或第四象限综上所述,在第三象限义域为x|xR且xk，kZ函数y=tgx+ctgx的定义域是说明 本例进一步巩固终边落在
4、坐标轴上角的集合与各三角函数值在每一象限的符号，三角函数的定义域例5 计算(1)a2sin(-1350)+b2tg405-(a-b)2ctg765-2abcos(-1080)分析 利用公式1，将任意角的三角函数化为02间(或0360间)的三角函数，进而求值解 (1)原式=a2sin(-4360+90)+b2tg(360+45)-(a-b)2ctg(2360+45)-2abcos(-3360)=a2sin90+b2tg45-(a-b)2ctg45-2abcos0=a2+b2-(a-b)2-2ab=0任意角的三角函数典型例题精析二例1 以下说法中，正确的选项是 A第一象限的角是锐角B锐角是第一象限
5、的角C小于90的角是锐角D0到90的角是第一象限的角【分析】此题涉与了几个根本概念，即“第一象限的角、“锐角、“小于90的角和“0到90的角在角的概念推广以后，这些概念容易混淆因此，弄清楚这些概念与它们之间的区别，是正确解答此题的关键【解】第一象限的角可表示为|k36090k360，kZ，锐角可表示为|090，小于90的角为|90，0到90的角为|090因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)(90)分别是第几象限角？【分析】 由sincos0，所以在二、四象限；由sintan0，所以在二、三象限因此为第二象限的角，然后由角的【解】(1)
6、由题设可知是第二象限的角，即90k360180k360(kZ)，的角(2)因为 1802k36023602k360(kZ)，所以2是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角(3)解法一：因为 90+k360180k360(kZ)，所以 180k36090k360(kZ)故 90k36090k360(kZ)因此90是第四象限的角解法二：因为角的终边在第二象限，所以的终边在第三象限将的终边按逆时针旋转90，可知90的终边在第四象限【说明】在确定形如k180角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论；确定象限时，k与k是等效的例3 集合E=|cossin，02，F=|tansin，那么EF是区间 【分
7、析】 解答此题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断用代入特殊值排除错误答案的方法解答此题也比拟容易【解法一】 由正、余弦函数的性质，【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出，对于二、四象限的角，ATMP，即tansin，由正弦线和余弦线可看出，当应选(A)可排除(C)，(D)，得A.【说明】此题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法：因为第一、三象限均有ATMP，即tansin，所以(B)，(C)，(D)均不成立用排除法也有些别的方法，可自己练习例 4 (1)角终边上一点P(3k，4k)(k0)
8、，求sin，cos，tan的值；【分析】利用三角函数的定义进展三角式的求值、化简和证明，是三两个象限，因此必须分两种情况讨论【解】(1)因为x3k，y=4k，例5 一个扇形的周长为l，求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大【分析】解答此题，需灵活运用弧度制下的求弧长和求面积公式此题是求扇形面积的最大值，因此应想法写出面积S以半径r为自变量的函数表达式，再用配方法求出半径r和周长l的关系【解】设扇形面积为S，半径为r，圆心角为，那么扇形弧长为l2r所以【说明】在学习弧度制以后，用弧度制表示的求弧长与扇形面积公形的问题中，中心角用弧度表示较方便本例实际上推导出一个重要公式，即当扇形周长为
9、定值时，怎样选取中心角可使面积得到最大值此题也可将面积表示为的函数式，用判别式来解【分析】第(1)小题因在第二象限，因此只有一组解；第(2)小题给了正弦函数值，但没有确定角的象限，因此有两组解；第(3)小题角可能在四个象限或是轴线角，因此需分两种情况讨论【解】(3)因为sin=m(|m|1)，所以可能在四个象限或的终边在x轴上例7(1) tan=m，求sin的值；【分析】(1)tan的值求sin或cos，一般可将tan母都是sin和cos的同次式，再转化为关于tan的式子求值，转化的方法是将分子、分母同除以cos(或cos2，这里cos0)，即可根据条件求值【说明】 由tan的值求sin和co
10、s的值，有一些书上利用公很容易推出，所以不用专门推导和记忆这些公式，这类问题由现有的关系式和方法均可解决函数的定义来证明由左边=右边，所以原式成立【证法三】(根据三角函数定义)设P(x，y)是角终边上的任意一点，那么左边=左边，故等式成立例9 化简或求值：【分析】 解此题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数值=sincos(因为为第三象限角)例10 (1)假设 f(cos x)=cos9x，求f(sin x)的表达式； 【分析】在(1)中理解函数符号的含义，并将f(sin x)化成f(cos(90x)是充分利用条件和诱导公式的关键在(2)中必须正确掌握分段函数求值的方法【
11、解】(1)f(sin x)f(cos(90x)cos9(90x)=cos(2360909x)cos(909x)=sin9x；1同角三角函数的根本关系式典型例题分析1某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值解 sin0角在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)(2)假设在第四象限，那么说明 在解决此类问题时，要注意：(1)尽可能地确定所在的象限，以便确定三角函数值的符号(2)尽可能地防止使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)(3)必要时进展讨论例2 sin=m(|m|1)，求tg的值(2)当m=1时，的终边在y轴上，tg无意义(3)当在、象限时，cos0当在第、象限时，cos0，说明 (
12、1)在对角的围进展讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况(2)此题在进展讨论时，为什么以cos的符号作为分类的标准，而不按sin的符号(即m的符号)来分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？2三角函数式的化简三角函数式的化简的结果应满足下述要求：(1)函数种类尽可能地少(2)次数尽可能地低(3)项数尽可能地少(4)尽可能地不含分母(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简例3 化简sin2tg+cos2ctg+2sincos=seccsc解2 原式=(sin2tg+sincos)+(cos2ctg+sincos)=tg(sin2+cos2)+ctg(sin2+cos2)=tg+ctg=seccsc说明 (1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进展的(2)解2中的逆用公式将sincos用tg表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用例4 化简：分析 将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进展化简3三角恒等式的证明证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上的同，这个过程，往往是从化简开场的这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开场例5 求证 cos(2sec
