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1、立体几何平行、垂直问题【基本知识点】一、平行问题1直线与平面平行的鉴定与性质定义鉴定定理性质性质定理图形条件结论aaab 面面平行的鉴定与性质鉴定性质定义定理图形条件，a结论ba平行问题的转化关系:二、垂直问题一、直线与平面垂直直线和平面垂直的定义:直线与平面内的 都垂直，就说直线l与平面互相垂直直线与平面垂直的鉴定定理及推论文字语言图形语言符号语言鉴定定理一条直线与一种平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 推论如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面3.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一种平面的两条直线平行.直线和平面垂
2、直的常用性质直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线垂直于同一种平面的两条直线平行.垂直于同一条直线的两平面平行二、平面与平面垂直1平面与平面垂直的鉴定定理文字语言图形语言符号语言鉴定定理一种平面过另一种平面的垂线,则这两个平面垂直平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直,则一种平面内垂直于交线的直线垂直于另一种平面【典例探究】类型一、平行与垂直例1、如图，已知三棱锥中,为中点，为中点,且为正三角形。(）求证：平面；(）求证:平面平面;（）若,求三棱锥的体积。ABCA1B1C1MN例2. 如图，已知三棱柱中，底面，,分别是棱，中点. ()求证：平面； （)求证：平面；
3、（)求三棱锥的体积【变式1】如图,三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形,，且,分别是的中点。()求证：平面；(）求证:平面；（3)设,求三棱锥的体积。二、线面平行与垂直的性质例3、如图,在四棱锥中，平面平面，,是等边三角形,已知， （1)求证:平面； （2）求三棱锥的体积.例4、如图,四棱锥P中，平面ACD,底面为正方形,BC=P=2，E为PC的中点， （）求证:; (I)求三棱锥CDEG的体积； (III）D边上与否存在一点M，使得平面E。若存在，求M的长;否则，阐明理由。【变式2】直棱柱ABC-A1B1C1底面ABD是直角梯形，BADAC,AB2C2()求证:平面B1C1C；() A上与否
4、存一点P，使得P与平面BC1与平面CB1都平行?证明你的结论.4422444正视图侧视图俯视图三、三视图与折叠问题例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。若为的中点，求证：面；（1） 证明：面；（2） 求三棱锥的体积。ABEPDC例.已知四边形是等腰梯形，（如图)。现将沿折起，使得(如图2)，连结。（I)求证:平面平面;（II)试在棱上拟定一点,使截面把几何体提成两部分的体积比;（III）在点满足(I)的状况下,判断直线与否平行于平面,并阐明理由。图1图2【变式3】一种四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E为D中点科网（I)求证：PB/平面EC；(I)求四棱锥的体积；(）若F为侧棱
5、PA上一点,且，则为什么值时,平面DF.【变式4】如图所示,正的边长为2a，D是AB边上的高，E，F分别是AC，C的中点。现将沿CD翻折,使翻折后平面CD平面B(如图2)(1）试判断翻折后直线AB与平面的位置关系，并阐明理由；(2）求三棱锥DF的体积。四、立体几何中的最值问题例7.图4，1A是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径, C是底面圆周上异于A,的任意一点,A1A= AB=.(1）求证: BC平面1A；（2)求三棱锥A1AC的体积的最大值.图4ABCA1例8 如图,在交AC于 点D，现将(1)当棱锥的体积最大时,求的长；(2)若点为AB的中点,E为【变式5】如图3,已知在中,平面ABC,于E
6、,于F，,当变化时,求三棱锥体积的最大值。高三文科数学专项复习:立体几何平行、垂直问题(答案）【典例探究】例1解：(）,又（）为正三角形,且为中点, 又由(1）知 又已知 ,，又,平面平面, （），又,例2.()证明：由于三棱柱中,底面又由于平面, 因此 1分ABCA1B1C1MNG由于，是中点，因此. 分由于, 3分因此平面 4分（）证明:取的中点,连结，,由于,分别是棱,中点,因此,又由于,，因此,.因此四边形是平行四边形. 分因此. 7分由于平面,平面， 分因此平面 9分（)由（）知平面. 分因此. 分变式(1)根据中点寻找平行线即可；（2）易证，在根据勾股定理的逆定理证明;(3）由于点
7、是线段的中点,故点到平面的距离是点到平面距离的,求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。【解析】(1）取中点，连接平行四边形，平面，平面，平面。 （4分）（)等腰直角三角形中为斜边的中点,又直三棱柱,面面，面，设又面。 (8分)（)由于点是线段的中点，故点到平面的距离是点到平面距离的。,因此三棱锥的高为；在中,，因此三棱锥的底面面积为,故三棱锥的体积为。(12分）二、线面平行与垂直的性质例3.（1)证明：在中,由于,，. 2分 .又平面平面,平面平面,平面,平面. 分（2)解：过作交于.又平面平面， 平面. 6分是边长为2的等边三角形,由(1)知,在中，斜边边上的高为 8分,. 10分. 4分例4
8、、（I）证明：平面CD, 又ACD是正方形，CCD, PDICED， BC平面P又P面P，CBC (II)解：BC平面PCD，GC是三棱锥GE的高。E是C的中点， (I)连结A，取A C中点，连结EO、G,延长GO交A于点M,则A/平面MEG。下面证明之为PC的中点，O是C的中点,EO/平面PA,又，平面EG在正方形ACD中,O是C中点, 所求AM的长为变式2.证明:(）直棱柱AB-A1B11中，BB1平面ACD，B1又AD=DC=90,AB=2A=D=2,AC=,CAB=，B=，BAC.又BB1BC=B,B,BC平面BB1C，C平面BCC.(）存在点,P为AB1的中点。证明：由P为A1的中点
9、,有P1AB,且PB1=AB 又DAB，DC=AB,B1，且DC=PB,DCBP为平行四边形,从而B1D又B1CB1，P面ACB1,DP面AB同理，P面B1.4422444正视图侧视图俯视图ABEPDC例5、（1）由几何体的三视图可知,底面是边长为4的正方形，面，,为中点，又面。（2)取的中点,与的交点为，,故为平行四边形，,面。（3)例6答案略变式.解:（）由三视图得,四棱锥底面ABCD为菱形,棱锥的高为,设，则即是棱锥的高,底面边长是2，连接,分别是的中点，(2)（3）过作-10分-2分-4分变式4.解：(1）判断:AB/平面DF.2分M证明：因在中，分别是AC,BC的中点,有EF/A.5分又因AB平面EF,F平面E.分因此AB/平面DEF.7分(2）过点作EMDC于点，面AD面BCD,面A面BD=CD，而EM面CD故EM平面BC 于是M是三棱锥-CDF的高.9分又CDF的面积为E=1分故三棱锥C-DEF的体积为四、立体几何中的最值问题例图4ABCA1证明:C是底面圆周上异于A，B的任意一点,AB是圆柱底面圆的直径，BCAC, 2分AA平面ABC，B平面ABC,A1
