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1、第一章 三角形的证明1.1 、等腰三角形（一 ）主备人：姚剑峰 审核：初二年级组教研组【目标导航】1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。2、经历“探索发现猜想证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的 关性质定理和判定定理。【自主预习】1、什么是等腰三角形？2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？【交流展示】 在证明（一）一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面 的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理本套教材选用如下命题作为公理 :
2、1.两直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等 , 那么这两条直线平行 ;2.两条平行线被第三条直线所截 ,同位角相等 ;3. 两边夹角对应相等的两个三角形全等 ; （SAS）4. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 ; （ASA）5. 三边对应相等的两个三角形全等 ; （SSS）6. 全等三角形的对应边相等 ,对应角相等 .由公理 5、3、4、6 可容易证明下面的推论：推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （AAS） 证明过程：已知：/ A二/ D, / B二/ E,BC=EF求证： AB3A DEF证明：T/ A=Z D, / B=ZE （已知）/ A+/ B+/ C=18
3、0 ,/ D+/ E+/ F=180（三角形内角和等于 180）/ C=180 -（ / A+/ B）/ F=180 -（ / D+/ E）/ C=/ F （等量代换）BC=EF（已知） ABCA DEF( ASA这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为F面的推理证明做准备。【归纳整理】(1) 还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2) 你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?等腰三角形(包括等边三角形)的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可 能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明定理：等腰三角形的两个底角相等。这一定理可以简单叙述为：等边对等角已知：如图，在 AB
4、C中, AB= AG求证：/ B=Z C证明：取BC的中点D,连接ADtAB=AC BD=CD AD=AD ABC坐 ACD (SSS)/ B=/ C (全等三角形的对应边角相等)【巩固拓展】在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么?由此你能得到什么结论？应让学生回顾前面的证明过程，思考线段 AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合等腰三角形（二）【目标导航】 等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。【自主预习】等腰三角形性质的探究让学生回忆上节课的教学内容，弓I导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等
5、的线段。 分别演示：中，/ABD=1 /ABC, / ACE=1 /ACB,k=丄，1时,BD是否与CE相等。引导学生探究、猜测当k为其他整 kk3 4数时，BD与CE的关系。【交流展示】，对于上述例题，当AD= 1 AC,AE= AB,k=,时，通过对例题的引申，培养学生的发散思维，kk2 3经历探究一猜测一证明的学习过程。引导学生进一步推广，把上面 3、4中的k取一般的自然数后，原结论是否仍然成立 ？要求学生 说明理由或给出证明。对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生 对猜测的结果给出证明。提出新的问题，弓I导学生从“等角对等边”这个命题的反面思
6、考问题，即思考它的逆命题是否 成立。适时地引导学生思考可以用哪些方法证明 ？培养学生的推理能力。【归纳整理】学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理能力。【巩固拓展】启发学生思考：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个 结论是否成立？如果成立，能否证明。这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述 可以提高学生的思维能力。1.1等腰三角形（3）【目标导航】：1. 能够用综合法证明等腰三角形的判定定理2借助等腰三角形的判定定理解决实际问题3. 结合实例体会反证法的含义【自主预习】前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角
7、。反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？猜想一下，。如上图，在ABC中，/ B=Z C要想证明 AB= AC,只要能构造两个全等的三角形，使 AB与AC成为对应边就可以了，你是怎样构造的？有几种方法呢？已知:证明:求证:C【归纳整理】（等角对等边）结论：等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。以后要判定一个三角形是等腰三角形，除用定义外，还可以用“等角对等边”判定。只要发现一个三角形有 两个角相等，则马上断定，这个三角形为等腰三角形。那么证明的格式如何书写呢？试一试。已知：如图,DAB= DC,BD= CA.求证：AED是等腰三角形三、阅读理解反证法读故事李子不好吃：古时
8、候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动。小朋友问他为何不去摘，他说：“树长在小朋友摘来一尝，李路边，若李子好吃，早就没了！但现在李子还有那么多，肯定李子是苦的，不好吃的。，然后推出“李子早就没了” ，可这个结，便证明“李子不好吃”的结论一定成大家再阅读课本 8页的想一想，体子果然苦的没法吃。王戍在说明李子不好吃时，先假设“李子好吃” 论与事实“满树都是李子”相矛盾，从而说明“假设李子好吃不成立” 立。这种推理方法用在我们数学问题里就是“反证法” 会反证法的推理逻辑。结论：在数学问题里， 先假设命题的结论不
9、成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的 结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法。反证法步骤：1）假设：假设命题的结论不成立 2）归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与 定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果 3）结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结 论正确。阅读例题，仿照例题来证明“ 一个三角形中不能有两个钝角。”已知：求证： 证明:【巩固拓展】1把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。1）我每天工作不超过 24小时；2）我们班有62人，今天出席人数为 61,有同学缺席；3）初三级有730人，有12个班，平均每个班都超过 60人;
10、4）三角形中必有一个内角不少于 60度；5）垂直于同一条直线的两条直线平行。2、如图，/ A = / B, CE/ DA CE交 AB于 E。求证：CE = CB。3、如图，在 ABC中，AB = AC, DE/ BC,求证： ADE是等腰三角形n r1.1等腰三角形（4）【目标导航】：1、掌握“等边三角形判定”及“300角的直角三角形的性质”的推论，会用上述结论进行相关的计算和证明。2、将探索、发现、猜想、证明有机结合起来，使数学思维的创造性和严谨性协调发展。【自主预习】1、已知 ABC中，AB=AC=5cm请增加一个条件使它变为等边三角形。2、利用刻度尺测量一下含 300角的三角板的斜边和
11、较短的直角边，与同伴比较结果，交流其关系。【交流展示】前面的学习中我们了解等边三角形是特殊的等腰三角形，那么一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一 个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？先来猜想，再证明自己的猜想，并与同伴交流。得出定理： 三角形是等边三角形。有一个角的三角形是等边三角形。【归纳整理】做一做：用两个含 300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由。 根据操作及之前的测量结果，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明。已知：求证： 证明：得出定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对直角边等于斜边的。在
12、应用定理解决问题时，如何书写格式，我们来试一试。求证：如果等腰三角形的底角为15那么腰上的高是腰长的一半。（画出图形、写出已知、求证和证明）【巩固拓展】o1、 判断：（1 ）在直角三角形中，直角边是斜边的一半。（）（2）有一个角是60的三角形是等边三角形。（）2、等腰三角形的底角等于 15，腰长为20,则这个三角形腰上的高是 3、如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90, / A =30,CD丄 AB,BD=1,则 AB 。4、 在厶 ABC中，AB=ACZ BAC=20,D 是 BC的中点，DEL AC,则 AE:EC= 5、如图，在 Rt ABC中，/ C=900,沿B点的一条直线 BE
13、折叠 ABC,使点C恰好落在 AB的中点D处，则/A= .6、在Rt ABC中，/ C=300,AD丄BC,你能看出BD与BC的大小关系吗？说明理由。7、已知：如图， ABC中，BCLAC,DELAC,点D是AB的中点,18如图， ABC是等边三角形， BD = CE,Z 1 = / 2。 求证： ADE是等边三角形。1.2 、直角三角形（一）【目标导航】1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法；【 自主预习 】1、想一想：（ 1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？（ 2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？结论
14、：定理：直角三角形的两个锐角定理：有两个角互余的三角形是2、勾股定理的内容是： ；它的条件是： 结论是将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件， 其内容是：【交流展示】，在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 和那么这两个命题称为其中一个命题称为另一个命题的。举例，写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是 两个命题都是真命题吗？ 一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？举例说明。 什么是互逆定理？举例说明。 是否任何定理都有逆定理？举例说明。 思考我们学过哪些互逆定理？【归纳整理】 【巩固拓展】1、判断A:每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理
15、。（）B:命题正确时其逆命题也正确。（）C:直角三角形两边分别是 3, 4,则第三边为5。（）2、 以下命题的逆命题属于假命题的是（）A:两底角相等的两个三角形是等腰三角形。B :全等三角形的对应角相等。C:两直线平行，内对角相等。D :直角三角形两锐角互等。3、 命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是。4、 若一个直角两直角边之比为 3: 4，斜边长20CM则两直角边为（）5、 已知直角三角形两直角边长分别为6 和 8，则斜边长为 ，斜边上的高为 。6、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:A:五边形是多边形。B两直线平行，同位角相等。：C:如果两个角是对顶角，那么它们相等。D:如果 AB=0 那么
